以量子圍欄中的單粒子為工質的量子卡諾循環

文 軍

(渭南師范學院物理與電氣工程學院,陜西渭南 714099)

【物理與電氣工程研究】

以量子圍欄中的單粒子為工質的量子卡諾循環

文 軍

(渭南師范學院物理與電氣工程學院,陜西渭南 714099)

構造了以量子圍欄中的單粒子為工作物質的量子卡諾循環模型,量子圍欄的哈密頓量期望值相當于經典卡諾循環中熱源的溫度,該量子卡諾循環由兩個等能(等溫)過程和兩個絕熱過程組成.分析得到,量子圍欄卡諾循環的等溫過程和絕熱過程與經典卡諾循環的等溫過程和絕熱過程相似,推得量子卡諾循環的效率表示式,該表示式與經典可逆卡諾循環效率的表示式類似.

卡諾循環;量子圍欄;循環效率

以理想玻色氣體、理想費米氣體、自旋1/2系統、諧振子系統、勢阱中的微觀粒子等為工作物質的循環系統稱為量子熱力學循環.量子熱力學循環的分析已經成為熱力學、工程熱力學、統計物理、量子物理和激光等領域研究的課題之一[1-4].Bender等人[5]提出了以處在一維無限深勢阱中單粒子為工作物質的二能級熱機,當勢阱壁緩慢移動時,熱機經歷了兩個等系統能量(量子“等溫”)過程和兩個量子絕熱過程,而構成一循環并且對外輸出功,同時得到了該量子熱機的卡諾效率.何濟洲等人分析了以一維無限深勢阱中極端相對論粒子為工質的卡諾循環和一維諧振子勢阱中單粒子為工作物質的量子熱機性能[6-8].本文根據量子力學基本原理,構造了以量子圍欄中的單粒子為工作物質的二能級量子卡諾循環模型,量子圍欄就相當于經典卡諾循環的活塞壁,量子圍欄的變化相當于活塞的移動,用系統哈密頓量期望值代替經典熱力學中的溫度,這樣即存在可逆“等溫”過程和絕熱過程.通過計算得到了與經典可逆卡諾熱機循環效率類似的量子卡諾循環效率表示式.

1 經典卡諾循環

經典卡諾循環是由兩個絕熱過程和兩個等溫過程組成的循環過程.在經典卡諾循環中,系統從高溫熱源吸收熱量QH,對外做功W,循環效率為

用TH和Tc分別表示高溫熱源和低溫熱源的溫度,卡諾循環的效率也可表示為

經典卡諾循環中以理想氣體為工作物質,理想氣體的狀態方程為

其中：P是理想氣體壓強,V是理想氣體體積,N是理想氣體分子數,k是玻爾茲曼常數.

等溫過程中,系統和熱源始終保持接觸,系統的溫度不變.故等溫過程中,理想氣體遵循

其中：C1是常數.對于工作物質為一維單原子理想氣體的卡諾循環,氣體的內能滿足

在等溫過程中,系統的內能始終保持不變.

絕熱膨脹過程中,氣體和外界無熱量交換.因此,活塞移動(氣體的體積改變,但系統始終保持平衡),氣體對外界做功,氣體的內能轉變為機械能.系統對外界所做的元功為

根據熱力學第一定律,在絕熱過程中

由(3)(5)(7)等式得到絕熱過程的狀態方程中滿足

其中：C2為常數.

2 量子圍欄卡諾循環

2.1 量子圍欄的波函數和能級

被禁固在量子圍欄中的單粒子受到的束縛勢表示為

其中：a是量子圍欄的半徑,設單粒子的有效質量為m*,則單粒子運動的Schr?dinger方程為

由于粒子限制在量子圍欄中,在r≥a的區域沒有粒子,有ψ=0.在0≤r≤a區域,有

其中：

波函數設為

代入(11)式中,分離變量得到

方程(15)的符合物理條件的解為

其中：A為待定常數.方程(14)式是關于r的Bessel方程,其通解是第1類Bessel函數Jm(αr)和第2類Bessel函數Ym(αr),即

第2類Bessel函數在r→0時發散,根據波函數標準條件,當r→0時,R(r)有限.因而上式中D=0,則

其中：N是歸一化常數,由歸一化條件決定,即

代入(18)式,得到體系波函數

能級

量子圍欄中系統的定態波函數表示為

其中：bn滿足

量子圍欄系統的哈密頓的期望值為

2.2 量子圍欄的卡諾循環

假設量子圍欄像經典卡諾循環中活塞一樣能夠移動,當圍欄半徑a變化無限小量da時,系統的波函數、本征值和能級都會隨之發生無限小變化.因此,定義作用在量子圍欄上的力

把(22)式代入(25)式,得

在量子圍欄等溫過程中,由于圍欄移動,圍欄大小隨著變化,但系統哈密頓期望值保持不變,這類似于經典等溫過程.經典等溫過程中系統始終和熱源保持熱接觸,而量子等溫過程可以認為系統和外界通過輸入或輸出能量的方式來實現.系數|bn|2,即量子圍欄系統處于各種不同量子態的幾率必須在此過程中變化使系統能量的平均值恒定,但必須滿足(24)式的歸一化條件.

在量子絕熱過程中,量子圍欄移動,圍欄大小改變.但絕熱過程系統一直保持平衡,因此系數|bn|2必須保持不變,系統處于各量子態的幾率不變,也就是絕熱過程中系統所處的量子態保持不變.根據關系(22)和(25)兩式,在絕熱膨脹(壓縮)過程中,隨著量子圍欄半徑a增大(減小),能量的本征值減小(增大).因此,系統能量的平均值減小(增大).

圖1表示只有兩個本征態(二能級系統)組成的量子圍欄卡諾循環系統,在1→2→3→4→1的循環中,各個過程的分界點分別為1,2,3和4,各分界點分別對應的量子圍欄的特征半徑分別為a1,a2,a3和a4.整個循環包括2→3與4→1兩個絕熱過程和1→2與3→4兩個等溫過程.

3 量子圍欄卡諾循環分析

圖1 量子卡諾循環示意圖

(1)假設量子圍欄等溫膨脹,系統的哈密頓量期望值保持不變,系統狀態由基態a1處經過1→2等溫膨脹到第一激發態a2,系統能量平均值為Eh.這時量子圍欄的狀態是最低兩個能量本征態的線性疊加,即

在循環起始系統處于基態,則

1→2等溫過程中,系統哈密頓量期望值恒定不變.根據(24)式,有|b1|2+|b2|2=1,則

由(29)(30)兩式得

當b1=0,b2=1時,量子圍欄達到特征半徑a2=λa1處,這時粒子處于激發態.量子圍欄受到的作用力為

由此可知,量子圍欄在等溫過程中滿足

其中：C憶1為常數.

(2)絕熱膨脹2→3過程中,系統一直處于第1激發態,量子圍欄特征半徑由a=a2絕熱膨脹到a=a3,根據熱力學第一定律得到

其中：El表示3→4等溫過程中系統的哈密頓量期望值.

(3)系統經過3→4等溫壓縮,量子圍欄由a=a3等溫壓縮至a=a4,這時系統要釋放能量以保持哈密頓值不變,這個過程使系統由第1激發態回到了基態.同理可知量子圍欄特征半徑a4=λ-1a3,這時在低溫壓縮中哈密頓期望值El表示為

同理,量子圍欄受到的作用力為

同理,3→4等溫壓縮過程滿足

其中：C憶2為常數.(33)(37)兩式和經典卡諾循環中等溫關系(4)相似.

(4)絕熱壓縮4→1過程中,量子圍欄由a=a4回到起點a=a1.這個過程中系統對外作功W41等于系統內能的改變,即

考慮熱機輸出功率W=W12+W23+W34+W41,根據(32)(34)(36)(38)等式得到量子圍欄卡諾循環的輸出功率

在等溫膨脹過程中系統從外界吸收的熱量

循環效率

根據(29)式和(35)式,量子圍欄效率亦可表示為

上式即是量子圍欄卡諾循環效率公式,它與經典卡諾循環效率公式類似.

4 結語

文中討論了以量子圍欄中的單粒子為工作物質的量子卡諾循環的效率.量子圍欄系統中的哈密頓量期望值相當于經典卡諾循環中熱源的溫度,分析了量子圍欄卡諾循環的等溫過程和絕熱過程,得到了與經典卡諾循環相似的卡諾循環效率的表示式.在經典卡諾循環中,氣體的膨脹過程和壓縮過程必須是準靜態過程,活塞的移動無限緩慢,循環周期無窮大.因此經典卡諾循環是一種理想模型.而量子卡諾循環在宏觀任意有限時間內都存在可逆性.

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[3]Lin B H,Chen J C.General performance charactersitics of a quantum heat pump cycle using harmonic oscillators as working substance[J].Physics Scripta,2005,71：12.

[4]陳金燦,蘇國珍.熱力學與統計物理學熱點問題思考與探索[M].北京：科學出版社,2010.171-217.

[5]Bender C M,Brody D C,Meister B D.Quantum Mechanical Carnot Engine[J].J Phys(A),2000,33：4427-4436.

[6]何濟洲,駱成洪,吳評.諧振子量子制冷循環[J].低溫物理學報,2004,(4)：334-342.

[7]王建輝,何濟洲,辛勇.量子卡諾循環[J].南昌大學學報,2006,30(2)：175-178.

[8]王建輝,熊雙泉,何濟洲,等.以一維諧振子勢阱中的單粒子為工質的量子熱機性能分析[J].物理學報,2012,61(8)：111-116.

【責任編輯 牛懷崗】

Analysis of a Quantum Carnot Cycle on Working with Single Particle in Quantum Corral

WEN Jun
(School of Physics and Electrical Engineering,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

The classical Carnot cycle is composed of two adiabatic processes and two isothermal processes.The classical reversible Carnot cycle can achieve the maximum efficiency.In this paper,the quantum Carnot cycle model is developed based on the single particle in quantum corral as the working material.The expectation value of Hamiltonian in quantum corral is analogous to the heat source temperature of classical Carnot cycle.This quantum Carnot cycle is composed of two equal-energy(isothermal)processes and two adiabatic processes.It is shown that the adiabatic and isothermal processes in quantum Carnot cycle are similar to those in classical one.The efficiency expression of quantum Carnot cycle can be figured out,which is similar to that in classical reversible Carnot cycle.

Carnot cycle;quantum corral;cycle efficiency

O413.1

A

1009-5128(2014)15-0013-05

2014-06-20

文軍(1962—),男,陜西銅川人,渭南師范學院物理與電氣工程學院教授,理學碩士,主要從事拉曼光譜和物理教學研究.