變化的電流產(chǎn)生的熱量不能用平均值計(jì)算*

王麗軍 王語(yǔ)涵 付宇隨 隗立闊

（北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附中 北京 102488）

變化的電流產(chǎn)生的熱量不能用平均值計(jì)算*

王麗軍 王語(yǔ)涵 付宇隨 隗立闊

（北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附中 北京 102488）

對(duì)2009年北京市某區(qū)的一道關(guān)于電磁感應(yīng)的模擬題產(chǎn)生質(zhì)疑，師生共同討論、分析、整理，認(rèn)為題目用電流的平均值算出的變化電流產(chǎn)生的熱量值存在錯(cuò)誤．

變化的電流 熱量 平均值

電流通過(guò)導(dǎo)體時(shí)，由于導(dǎo)體中存在電阻，會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，產(chǎn)生的熱量Q跟電流I的二次方成正比，跟電阻R成正比，跟通電時(shí)間t成正比，即Q＝I2Rt，這就是焦耳定律．應(yīng)用焦耳定律計(jì)算熱量時(shí)，如果是恒定電流，則可以用上面公式直接計(jì)算，但如果電流是隨時(shí)間變化的，一般來(lái)說(shuō)需要通過(guò)積分運(yùn)算．中學(xué)階段一般不要求運(yùn)用微積分運(yùn)算，這就要用到“有效值”的概念．

例如，2009年北京市某區(qū)有一道高三模擬題．

【題目】如圖1（a）所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN，PQ所在平面與水平面成θ＝30°角，兩導(dǎo)軌的間距l(xiāng)＝0．50 m，一端接有阻值R＝1．0Ω的電阻．質(zhì)量m＝0．10 kg的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，與軌道垂直，電阻r＝0．25Ω．整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝1．0 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下．t＝0時(shí)刻，對(duì)金屬棒施加一平行于導(dǎo)軌向上的外力F，使之由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電路中的電流隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖1（b）所示．電路中其他部分電阻忽略不計(jì)，g取10 m/s2，求：

（1）4．0 s末金屬棒ab瞬時(shí)速度的大小；

（2）3．0 s末力F的瞬時(shí)功率；

（3）已知0～4．0 s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為0．64 J，試計(jì)算F對(duì)金屬棒所做的功．

圖1

前兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單在此不再贅述，只分析第（3）問(wèn)．

過(guò)程分析：從圖像中我們可以看出電流I隨時(shí)間呈線性變化，即動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間呈線性變化，所以金屬棒在導(dǎo)軌上做的是勻加速運(yùn)動(dòng)，所受合外力不變．由于金屬棒所受的安培力隨電流的變化而變化，所以外力F為變力．由前兩問(wèn)可以求出金屬棒ab運(yùn)動(dòng)的加速度a＝0．5 m/s2，4．0 s末金屬棒ab瞬時(shí)速度的大小v4＝2 m/s．

第（3）問(wèn)中求F對(duì)金屬棒所做的功有兩種辦法，即動(dòng)能定理和積分．

解法1：運(yùn)用功能關(guān)系求解

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，金屬棒ab上產(chǎn)生的焦耳熱為Q′．根據(jù)焦耳定律，有

由題知，在0～4．0 s時(shí)間內(nèi)Q＝0．64 J，由

解法2：利用積分求解

對(duì)金屬棒受力分析，可以得出

金屬棒ab所受的安培力為

因金屬棒ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有

將式（2）、（3）代入式（1），并代入具體數(shù)值，得

在d t時(shí)間內(nèi)F做功為

在0～4．0 s時(shí)間內(nèi)F對(duì)金屬棒所做的功為

以上兩種解法原理和運(yùn)算都是正確的，為什么得出的結(jié)果不一樣呢？通過(guò)比較可以看出第二種解法沒(méi)有用到“0～4．0s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為0．64 J”這個(gè)已知條件，由此推測(cè)很有可能是已知條件出現(xiàn)了問(wèn)題，那么電阻R上實(shí)際產(chǎn)生的熱量是多少呢？題目中給出的條件合適不合適呢？下面利用積分的方法求0～4．0 s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解法1：

根據(jù)所給的圖像信息可知電流I隨時(shí)間呈線性變化，即i＝0．2t．

在0～4．0 s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為代入數(shù)據(jù)得

電路中產(chǎn)生的總熱量等于這個(gè)過(guò)程中金屬棒克服安培力做的功，即

所以0～4．0 s時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量實(shí)際應(yīng)為0．853 J．

猜測(cè)：題目中的Q＝0．64 J是如何來(lái)的呢？

題目中已知R＝1．0Ω，t＝4 s，由圖像可知，這個(gè)過(guò)程中電流的平均值I-＝0．4 A，代入公式Q＝I2Rt得Q＝0．64 J．之所以出現(xiàn)問(wèn)題，原因是電流與時(shí)間成正比不等價(jià)于電流的平方與時(shí)間成正比，所以對(duì)電流取平均后算出的熱量是不正確的．這個(gè)道理在交變電流一章中有涉及，為了計(jì)算電流產(chǎn)生的能量定義了電流的有效值，而有效值和平均值一般情況下并不相等．

借鑒交流電的研究方法，引用電流的有效值的概念．有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)定義的，一個(gè)變化的電流通過(guò)某一阻值的電阻器，在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量，如果跟一個(gè)恒定直流電通過(guò)該電阻器在同樣時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則該直流電的電流就叫交流電的有效值．要計(jì)算有效值，依據(jù)焦耳定律公式，可得

但這個(gè)電流的“有效值”與交變電流的有效值不同，大小與所取的時(shí)間有關(guān)．

在0～2 s的時(shí)間內(nèi)電流的有效值

在2 s～4 s的時(shí)間內(nèi)電流的有效值

從上面的分析可以看出，在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，計(jì)算熱量的問(wèn)題不能用電流的平均值．雖然物理上一般不要求用微積分求解，但由于新課程實(shí)施后數(shù)學(xué)要求的變化，現(xiàn)在高二的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分的初步知識(shí)，學(xué)生完全有能力求解．教師在命題的過(guò)程中，對(duì)此類問(wèn)題要認(rèn)識(shí)清楚，不能疏忽，避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤．

Using the Average Value of Changing Current to Calculate the Heat Is Wrong

Wang Lijun Wang Yuhan Fu Yuxuan Wei Likuo
（Liangxiang High School Affiliated to Beijing Normal University，Beijing 102488）

The authors questioned an electromagnetic induction simulation question in 2009 of one district in Beijing．After the teacher and students discussed，analyzed and sorted，the paper considered that the calorie value calculated by average value of Changing current is error．

changing curren；，heat；average value

*本校物理組獨(dú)立承擔(dān)“高中學(xué)生物理學(xué)科能力培養(yǎng)的實(shí)證研究”是房山區(qū)“十二五”教育科學(xué)規(guī)劃課題，北京市房山區(qū)2012年優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助個(gè)人項(xiàng)目．

2014- 04- 25）