平板電容器介質中的矢量場*

鄭永紅 王宏偉

（北京信息科技大學理學院 北京 100192）

平板電容器介質中的矢量場*

鄭永紅 王宏偉

（北京信息科技大學理學院 北京 100192）

介紹了平板電容器真空及各向同性電介質中的電場，進一步計算了各向異性平板電容器電場中的電場強度、電位移矢量、電極化強度．根據計算的結果對平板電容器介質中的矢量場進行了力線描繪，說明了電介質矢量場的性質．并進一步比較了線性各向異性電介質與指數電介質對電場產生的影響．

平板電容器 電介質 電場強度 電位移

電容器是現代電工技術和電子技術中重要的元件，在各類傳感器中有著廣泛的應用［1］．在普通物理中，只討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器中矢量場的計算．當平板電容器中充有各向異性電介質時，電介質對真空中的靜電場會產生什么樣的影響呢？

本文根據有介質存在時描述靜電場的物理量電場強度、電位移矢量、電極化強度矢量，分別計算了有線性各向異性電介質、指數型電介質存在時平板電容器中的各種矢量，并根據計算結果進行力線描繪，形象地說明電介質對電場的影響．使學生進一步了解真空電場與電介質存在時的不同，了解各向異性電介質對電場的影響．

1 電介質的極化對矢量場的影響

由于組成電介質的分子不同，可以把電介質分為無極分子電介質和有極分子電介質．在無外場時，分子正負電荷中心是重合的，這種分子叫做無極分子．例如甲烷、二氧化碳和石蠟等的分子都是無極分子．在無外場時，分子的正負電荷中心不重合，這種分子叫有極分子，如有機玻璃、纖維素等．

無外場時，無極分子的電偶極矩為零．在外場中，無極分子正負電荷受到相反方向的電場力，發生相對位移，每個分子的電偶極矩不再為零，且都沿外場方向排列．這種現象稱作無極分子的位移極化，如圖1（a）所示．有極分子在無外場時，具有電偶極矩．由于分子的熱運動和相互碰撞，整個電介質中分子電偶極矩矢量和為零．在外場中，這些分子的電偶極矩將受到外場力矩的作用轉向外場方向，這就是有極分子電介質的取向極化，如圖1（b）所示．

圖1 電介質的極化

雖然兩種介質的微觀機理不同，但其宏觀效果是一樣的．在電介質的表面都出現了極化電荷的現象．介質表面極化電荷的出現，會影響原來的電場．當只討論極化電荷對原電場的影響時，就不需要把這兩種電介質進行分類．下面分別討論不同性質的電介質由于極化對電場的影響．

2 各向同性平板電容器的矢量場

真空中平板電容器，平板的面積為S，兩平板相距為d，如圖2所示．設兩極板的面電荷密度為±σ，則極板間的電場強度為［2］

由上式可得兩極板間的電位移矢量為

圖2 真空平板電容器

真空中平板電容器中的E場和D場，都是均勻場．它們都是無源無旋場．

板間充滿各向同性的電介質時，電介質的介電常數為ε，則電容器的電介質中的電位移矢量為［3］

各向同性電介質中，E場、D場、P場均為均勻場，電介質中電場強度小于真空中電場強度．可見，電介質的存在削弱了電場．電位移矢量場不變，有介質的極化，極化強度矢量不為零．介質中三者均為無源無旋場．

3 線性各向異性電介質的矢量場

設電介質的介電常數為

如圖3所示．由于問題的對稱性可知D是均勻分布的．作如圖的高斯面Σ，只需計算介質內與極板平行的面ΔS的電位移通量

電極化強度為

圖3 充有隨y變化各向異性電介質的平板電容器

計算表明介質中的D為均勻場是無源無旋的；介質中的E是非均勻場，隨y的增大而減小，是有源無旋的；介質中P為非均勻場，隨y的增大而增大，是有源無旋的．矢量場的力線分布如圖4所示．

圖5 充有隨x變化電介質的平板電容器

由此得介質中電場強度為

電位移矢量為

計算結果表明，介質中E場是均勻場，是無源無旋的；介質中的D為非均勻場，隨x的增大而增大，是無源有旋的；介質中的P場是非均勻場，隨x的增大而增大，是無源有旋的．圖6為此種介質中矢量場的力線分布．

圖6 介質中矢量場的力線分布

4 指數各向異性電介質的矢量場

電場強度矢量為

電極化強度矢量為

5 結論

上面介紹了真空及均勻各向同性電介質的矢量場，并進一步討論了當電容器中充滿線性電介質、指數型電介質時介質中的矢量場．當電介質的介電常數是y的函數時，介質中的D為均勻場是無源無旋的；介質中的E是非均勻場，是有源無旋的；介質中P為非均勻場，是有源無旋的．指數型電介質中電場強度、電極化強度矢量比線性電介質變化得快．當電介質的介電常數是x的函數時，介質中E場是均勻場，是無源無旋的；介質中的D為非均勻場，是無源有旋的；介質中的P場是非均勻場，是無源有旋的．指數型電介質中電位移矢量、電極化強度矢量比線性電介質變化得快．

1 趙凱華，陳熙謀．電磁學（上冊）．北京：高等教育出版社，2008．156

2 程守洙，江之永．普通物理學（2）．北京：高等教育出版社，2008．98

3 馬文尉，周雨青，等．物理學教程（上冊）．北京：高等教育出版社，2006．56

*北京市教育委員會科技發展計劃面上項目，項目編號：KM201411232017

鄭永紅（1969- ），女，博士，講師，主要從事物理教學和傳感器的研究．

2014- 05- 05）