正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示及應用*

王瑋 孫家法

（淮北師范大學物理與電子信息學院 安徽淮北 235000）

正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示及應用*

王瑋 孫家法

（淮北師范大學物理與電子信息學院 安徽淮北 235000）

類比余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示表示法，本文給出了正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示，并將其應用到簡諧振動問題中，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示時一致的結果．這一旋轉矢量圖示在簡諧振動中應用的新思路，在大學物理教學中具有較好的實用價值．

旋轉矢量圖示 簡諧振動 正弦函數

物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數（或正弦函數）的規律隨時間變化，這種運動稱為簡諧振動［1］．而為了形象地描述簡諧振動，充分利用勻速圓周運動是周期性運動的特性，常采用旋轉矢量圖示來解決簡諧振動問題［1，2］．按照簡諧振動的定義，簡諧振動的運動學方程可以用余弦或正弦函數來表示，但是在利用旋轉矢量圖示解決簡諧振動問題時通常選用簡諧振動的余弦函數形式，即通常運用余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示處理問題［3～8］．即便是有少數學生想到了簡諧振動還具有正弦函數形式，卻由于對旋轉矢量圖示法的片面理解而不能給出正確的旋轉矢量圖示．因此，本文在充分理解旋轉矢量圖示中心思想的基礎上，從余弦與正弦簡諧振動的定義入手，類比余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示表示法，給出正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示，并利用該種圖示處理一個具體的簡諧振動問題，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示時一致的結果．

1 余弦與正弦簡諧振動

以水平放置的彈簧振子為例給出簡諧振動的兩種函數形式．假設該彈簧振子由質量為m的物體系于一端固定的不計質量的輕彈簧組成．當彈簧為原長時，物體處于平衡位置，取該平衡位置為坐標原點，并假設物體沿Ox軸（向右為正向）做簡諧振動，其表達式可以寫為余弦函數

其中x是物體相對于平衡位置的位移，A為振幅，ω為振動的角頻率，φ0為初相位．因為

則簡諧振動的表達式也可以寫為正弦函數

以上兩種函數形式的簡諧振動分別稱為余弦簡諧振動和正弦簡諧振動．

2 正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示

在給出正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示之前，先回顧一下余弦簡諧振動旋轉矢量圖示的表示法，如圖1所示．圖1中，在平面直角坐標系x Oy中作一個矢量，矢量的長度等于振幅A，以數值等于角頻率ω的角速度在該平面內繞原點O做逆時針方向的勻速轉動，這個矢量稱為旋轉矢量．設t＝0時，旋轉矢量與Ox軸之間的夾角等于簡諧振動的初相位φ0（此時M點位于M0位置，在Ox軸上的投影點為P）．經過時間t轉過角度ωt，與Ox軸之間

0的夾角變為（ωt＋φ0），等于簡諧振動在該時刻的相位，這時矢量的末端點M在Ox軸上的投影點P的位移正好滿足余弦函數x＝A cos（ωt＋φ0）［1］．所以，余弦簡諧振動對應于旋轉矢量的末端點M在直角坐標系Ox軸上投影點的運動．

圖1 同一旋轉矢量描述的余弦與正弦簡諧振動

按照平行四邊形法則，可以將旋轉矢量OM往兩個相互垂直的坐標軸上分解，若其中一個分量為，而另一個分量用表示，即＝＋，其中Q點是旋轉矢量的末端點M在Oy軸上的投影點．當旋轉矢量以角速度ω在x Oy平面內繞原點O做逆時針方向勻速轉動時，Q點的位移正好滿足正弦函數y＝A sin（ωt＋φ0），如圖1所示．由此可知，旋轉矢量的末端點在直角坐標系Ox軸和Oy軸上投影點的運動都是簡諧振動，并且分別對應于余弦簡諧振動和正弦簡諧振動．綜合以上，從圖1中可以清晰地看到由同一個旋轉矢量得到的余弦簡諧振動和正弦簡諧振動所表示的是振幅相同、振動頻率相同、初相位差為且振動方向相互垂直（一個沿Ox軸方向振動，另一個沿Oy軸方向振動）的兩個簡諧振動．

若要用余弦和正弦兩種函數形式描述同一個簡諧振動，需要做以下兩步修正．第一步，需要用兩個不同的旋轉矢量和來描述，如圖2所示．設這兩個旋轉矢量的初相位分別為φ0和φ，則按照正

圖2 振動方向相互垂直的簡諧振動的旋轉矢量圖示

為了清晰起見，本文規定：

（1）以t＝0時旋轉矢量與水平方向坐標軸（先不用給出水平方向坐標軸是Ox軸還是Oy軸）之間的夾角等于簡諧振動的初相位．那么當旋轉矢量以角速度ω在坐標平面內繞原點O做逆時針方向勻速轉動時，該矢量末端點在水平方向投影點的運動為余弦簡諧振動，而在豎直方向投影點的運動為正弦簡諧振動．

（2）按照簡諧振動具體的振動方向設置坐標軸．若給定余弦或正弦簡諧振動是沿Ox方向的，則設置水平方向或豎直方向作為Ox軸，如圖3所示的同一簡諧振動（沿Ox軸振動）的兩種旋轉矢量圖示．圖3（a）為余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示，其中以水平方向作為Ox軸；圖3（b）為正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示，其中以豎直方向作為Ox軸．同樣地，我們可以想象，若給定余弦或正弦簡諧振動是沿Oy方向的，則設置水平方向或豎直方向作為Oy軸即可．

圖3 同一簡諧振動（沿Ox軸振動）的兩種旋轉矢量圖示

3 正弦簡諧振動旋轉矢量圖示的應用

為了更好地理解正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示，本文以參考文獻［1］的例題10- 1為例，討論旋轉矢量圖示在正弦簡諧振動中的應用．為方便討論，將主要的題目內容描述如下．

【題目】一物體沿Ox軸做簡諧振動，振幅為A＝0．12 m，周期為T＝2s．當t＝0時，物體的位移為x＝0．06 m，且向Ox軸正方向運動．求此簡諧振動的表達式．

下面應用本文給出的正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示進行解答．首先，設這一簡諧振動的表達式為一正弦函數

這正是參考文獻［1］中采用余弦簡諧振動旋轉矢量圖示得到的結果．也就是說采用本文給出的正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示解決簡諧振動問題時，得到的結果與采用余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示時是一致的．

圖4 t＝0時刻正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示

4 結論

本文給出了正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示表示法，并給出新的規定法則將此表示法與余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示表示法統一起來．從“層層遞進的推導過程”到“在具體的簡諧振動問題中的應用”，創新思想及得到的結論包括以下兩點：

（1）在平面直角坐標系中建立旋轉矢量時，以t＝0時旋轉矢量與水平方向坐標軸之間的夾角為簡諧振動的初相位．當旋轉矢量逆時針轉動，則該矢量末端點在豎直方向投影點的運動為正弦簡諧振動．

（2）將采用該種方法得到的正弦簡諧振動的旋轉矢量圖示應用到求解簡諧振動表達式的例題中，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉矢量圖示時一致的結果．

通過本文的內容可以加深對旋轉矢量以及旋轉矢量圖示的理解，有利于今后對旋轉矢量圖示在簡諧振動中的靈活應用．

1 胡盤新，湯毓駿，鐘季康．普通物理學簡明教程（下冊）（第二版）．北京：高等教育出版社，2007．72～79

2 漆安慎，杜嬋英．普通物理學教程力學（第二版）．北京：高等教育出版社，2005．294～301

3 朱青．旋轉矢量法在“簡諧振動”教學中的應用．中山大學學報論叢，2006，26（1）：5～7

4 倪辛．旋轉矢量圖與簡諧振動的關系．南京廣播電視大學學報，1999，4：37～38

5 陳鎮平，陸瑩，蘇磊．旋轉矢量在振動和波動中的應用．洛陽師范學院學報，2002，2：30～32

6 楊慶怡．用旋轉矢量描述簡諧振動．廣西大學學報（自然科學版），2002，27：145～147

7 馬業萬，劉全金，章禮華，張杰．大學物理教學中初相位的求解——旋轉矢量法．安慶師范學院學報（自然科學版），2012，18（1）：97～99

8 王勇．利用旋轉矢量求解相位角．中國科教創新導刊，2011，20：109

*國家自然科學基金青年科學基金項目，項目編號：11104100；安徽省高等學校質量工程項目，項目編號：2011248

王瑋（1982- ），女，博士，副教授，主要從事大學物理教學及超導材料的第一性原理計算研究．

2014- 08- 30）