數學常規解法與模型解法之思*——以排列組合中的典型問題為例

江蘇省如皋高等師范學校 紀宏偉

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數學常規解法與模型解法之思*——以排列組合中的典型問題為例

江蘇省如皋高等師范學校 紀宏偉

該文以排列組合中的分球入箱、裝錯信封、傳球問題、質點運動問題為典型案例，對比探討了數學常規解法和模型解法的不同特點，得到結論：兩者沒有絕對的優劣高低之分，在教學實踐中應辯證對待模型解法與常規解法的關系，重視兩種解法形態在解題中的作用，只有適合學生的解法才是最優化解法，只有適合學生的解題教學才是最優化解題教學。

常規解法 模式解法 優化教學 排列組合數學

隨著課程改革的進展，數學解題教學中追求解法多樣化已成為一種普遍的解題教學取向，一題多解作為一種培養學生發散性思維的重要形式，已廣泛應用于數學教學。在一道題的多個解法中，往往包含著兩個解法形態，其中常規性解法采用的是具有普遍意義的技巧和具有代表性、典型性、一般性的方法，最能體現出思考過程的自然性；而所謂模型化解法，則是就題目所反映出的特征，對問題進行延伸、拓展、推廣，從而總結提煉出一般化、擴展化的解法，一般具有更廣的適用性。本文擬結合排列組合的四個典型問題，談談對這兩種解法的認識，分享數學經驗。

1 具體實例

1.1 “分球入箱”問題

例1 把9個相同的小球放入編號分別為1，2，3的三個箱子中，要求每個箱子放球的個數不少于其編號數，則不同的分球方法有多少種？

解法1 由題意可知在編號為1的箱子中放球的個數應該為1個，2個，3個，4個，共4種情形（不少于編號1，且余下球至少要5個）。依次類推得樹形圖如下：

1+2+3=9 (1≥1,2≥2,3≥3) ①

解法1利用樹圖把思考過程一覽無遺地展示出來，利于發現、探索其中的變化規律，是一種簡單而直觀的方法，應視作常規解法。解法2和解法3采用的是隔板法，適用于“隔板模型”，對解決名額分配、相同元素的分配等問題特別有效。

1.2 “裝錯信封”問題

例2 編號為1、2、3、4的信投入編號為1、2、3、4的信箱，每個信箱投一封，但信的號碼與信箱號不能相同，問有多少不同的投法？

解法2 把各種方法一一列舉出來，如下表所示：

四封信各種投信的方法 1222333444 2134144133 3441412212 4313221321 投法編號法1法2法3法4法5法6法7法8法9

解法 3 參見文獻[1]推導的一般公式：

1.3 “傳球”問題

例3 三人傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手上，則不同的傳球方式共有多少種？

解法1 如圖2所示：

甲→□→□→□→□→甲

解法2 如圖

同理，甲傳給丙也可以推出5種情況，所以共有10種方法。

解法1和解法2一個用“□”，一個用線條來輔助思考，使看不見摸不著的動態傳球問題變得形象直觀，是常規解法，但是將問題向一般情況推廣，這種處理方式顯然無能為力。解法3采用遞推法，由遞推關系得出問題的解，這種解法適合該問題的一般情況，顯然具有普適性，是模型化解法。

1.4 “質點運動”問題

解法1 此運動方法枚舉如下：

所以共有5種方法。

解法1采用的是枚舉法，將質點的全部運動過程清晰直觀地展示出來，雖較為繁瑣，但其結果卻做到一目了然，應該是常規解法。解法2采用的是方程解法，對解決類似問題具有仿照和指導作用，可參見文獻[3]，可視之為模型化解法。

2 一些思考

2.1 一題多解是值得提倡的教學方式

做題是對知識點的檢驗和應用的過程，也是積累做題技能的過程，學好數學，必須做題，做大量的題，這是沒有異議的，正如華羅庚所說“學數學不做題，猶如入寶山而空返”。但是現實情況是，有不少同學花費了不少時間，做了很多的題，解題能力還是一般，成績還是難以提高。分析原因，主要是思維沒得到鍛煉，為了做題而做題，不能舉一反三，靈活應變。實踐表明，學生做不出的題或者解答不完善的題，一般都是那些知識點多、環環相扣、考查跨度大、綜合性強的題。想要解決這個問題，就需要建立完整、系統的知識網絡和體系，當知識點多的題目出現時，學生就可利用所構建的知識系統進行搜索，找到所需要用到的知識點，理清它們之間的內在聯系，從而找出解題思路[4]。一題多解正是幫助構建學生知識網絡和知識系統，促使知識點之間融匯貫通的有效方式。此外，教師多開展一題多解的教學活動，有利于提高學生對問題本質的認識和理解，這是發展學生發散思維和邏輯思維能力的好方法[5]。

2.2 辯證對待模型解法與常規解法的關系

模型解法是對問題擴展之后形成的解法。這種解法把一類相同類型的題目的解法總結提煉，升華為理性的解題策略和具有更廣適應性的套路，具有通法的特征。如例1，我們能看到它的巨大優勢。學生用該法解題，可以引導自己舉一反三，迅速形成應對該題型的做題技能，從而達到只做少量的題，就收到與大量做題相同甚至更好的效果。美國教師協會編寫的《課程標準》對數學的定義是“數學是關于模式和秩序的科學”，所以他們強調把問題模式化和秩序化，最終歸于機械(計算機)化。模型解法可謂與這一定義主張一脈相承。但是也要看到，模型解法因為“模式化”的傾向和特征，在實際中可能誘導學生養成只求“套用和模仿”的不好習慣，對于那些盲目做題的學生而言，更容易使他們解題時局限于某框框或固定在某模式之中，形成思維定勢或惰性，思維變得僵化、單一、刻板、封閉。此外，模型解法對學生的知識結構要求較高，例如例2、3中，雖有一般公式可“套”用，但其推導的過程并非輕而易舉，需要用到其它的知識和演算技巧，倘若學生對此不清楚、不理解，試問，他們還能深刻掌握并靈活應用嗎？就像學習廣播體操，分解動作都沒有學會，能把整套體操做下來嗎？何況，數學題型繁若星辰，模型解法也不能“通吃天下”，如一劑萬靈仙丹。

毫無疑問，常規解法是一種思考最自然、思維最樸實、最直接的解法。它能反映問題的本質，觸及數學思想方法，而且易于被學生理解消化、接受。實際上，大多學生解題時首先還是想到常規方法。即便是一題多解的“多”解，也無不是首先從常規解法開始。所以在教學中，教師宜首先加強常規解法的訓練。特別是在學習的起始階段，更該如此。我們很多學生學習很刻苦，幾乎在用一種螞蟻啃骨頭的精神在做題，可是若把常規解法這個“根”丟了，解題能力的提升、成績的提高將無從談起；而只有切實加強訓練，讓常規解法內化在自己心靈，模型解法才有更好的應用價值和利用的空間，其優越性才會最佳體現，才能在學習和考試中如虎添翼。

2.3 適合學生的解法才是最優解法

無論是常規解法還是模型解法，都要貼近學生的實際，滿足學生的需要，讓學生感到適宜。比如例2，有的學生喜歡直接列舉，因為在他們看來，用枚舉法做起來直觀、清楚，一目了然，而且具有發現、探索上的優點[6]。雖然方法看似“笨”，但解決問題非常輕松，容易下手，這才是硬道理。而有的同學喜歡建立模型直接用公式，這樣，這些以經典問題為背景、原本很難的題目，就沒有難度了。數學題目千變萬化，有些題用常規解法可能顯得不夠精致簡潔，或者思路不夠直接流暢，學生解起來可能力不從心，所以這時對學生來說，常規解法并非最理想，而用模型解法則可以得心應手，順利達到目的，自然是一種優化解法；反之，有些題目用模型解法，或背景深奧，或技巧奇妙，或過程花哨，顯得羅嗦、復雜，而常規解法反而簡潔明快，事半功倍，當然用常規解法更適合、更佳。就學生而論，由于生源不同，或由于能力傾向不同，認知結構不同、發展水平不同、興趣愛好不同、學習習慣不同，對常規解法還是模型解法，出現“蘿卜白菜，各有所愛”的情況是很正常的。例如，對于例3，調查發現大多數同學喜歡畫樹形圖，而對所謂的模型解法沒有興趣，例2也是。而例1，幾乎所有人采用的都是模型解法——隔板法，對于畫樹形圖則沒有考慮，這說明針對該題型的模型解法，學生已經了然于心。模型解法在一些學生眼里可能被視作高招，他們對此有更多偏愛，但在有些學生那里就可能“水土不服”，不感興趣。同樣對于常規解法，有些同學通常會優先加以考慮。學生是學習的主體，不同的學生對于不同的題型及相應的解法，他們將表現出不同的適應性和態度情感傾向，他們會對比，體會，甄選，反思。因此只有適合他們的，才是最優的解法；只有適合學生的解題教學才是最優化解題教學。

[1] 周斌，孫珊瑚. 從一道高考模擬題談錯位數的遞推計算[J]. 數學通報，2009，48（7）：59-60.

[2] 蔣文彬. 題不在多聯系則名，法不在全變化則靈[J]. 中學數學教學，2007 (1)：38-41.

[3] 王業和. 一類排列組合問題的方程解法[J]. 數學教學，2008(10)：32-33.

[4] 紀宏偉. 對一題多解教學的思考[J].中學數學月刊，2014(6)：32-34.

[5] 紀宏偉. 一題多解培養學生發散思維能力——以排列組合應用題為例[J]. 西藏教育，2014(3)：26-28.

[6] 紀宏偉. 探析排列組合中的枚舉法[J].高中數理化，2014(14)：11-12.

江蘇省“青藍工程”優秀青年骨干教師培養資助項目。