基于光折射定律的虹成因分析及其應用

鄭其明

(南京化工職業技術學院，江蘇南京 210048)

0 引言

彩虹是常見的自然現象，常在夏日的雨后發生。對于彩虹形成的原因，早在十七世紀時，法國物理學家Rene Descartes就已經用幾何光學的原理分析過［1］，此后物理學家通過波動光學和微分方程對彩虹原理解釋得更加精確［2］，但這些解釋對普通大學生而言很難理解。本文在基于光的折射定律的基礎上［3］，通過理論和實驗兩個角度，利用簡單的數學方法，對彩虹形成原因進行了解釋，讓學生更直觀地了解彩虹形成的原因，進而利用本文提出的原理，發展出一種測量液體折射率的新方法。

1 虹形成原因的理論分析

虹的形成是由于光線射入空氣中的小水滴，經另一側內反射后，光線從同一側面折射出來，從而觀察到虹。由于陽光(白色光)是由7種單色光組成，不同單色光對水的折射率不同，白色光經過水滴折射后，折射光線會分解成不同單色光，因此觀察到的虹是彩色的。最容易被觀察到的彩虹是經過水滴一次內反射后形成的，其觀察角往往在與水平面成α=42°角處［4］(即彩虹形成的觀察最大角度)。在適當的條件下肉眼也可以看到經過多次內反射后形成的高階彩虹。由于高階彩虹形成原理比較復雜，本文只研究單階彩虹的情況。

在一般教材或相關資料中都會介紹到彩虹與水平面形成42°的角，但一般并不說明形成42°的角的原因和其物理意義，本文從理論和實驗兩個角度對此問題進行分析。

圖1 彩虹形成原理的光路示意圖

考慮一道單色光在小水滴內單次內反射的情形，如圖1所示，θ為入射角，φ為折射角，光線經過水滴內反射和折射后的偏折角是入射角θ的函數，并隨著入射角的變化而變化，記作A(θ)。由圖可知，出射光線與水平線的夾角為α。有:

根據光的折射定律，設空氣的折射率為n，可得，sin θ=nsin φ，代入上式得:

同時由圖1可知，入射光線(或其延長線)到水滴中心寬度:h=Rsin θ，h隨著入射角θ的變化而變化，對具體小水滴而言，其半徑為常數，則有:

而A(θ)是關于 θ的函數，故有:對θ的導數即為A(θ)函數曲線上任意一點的斜率。所以，代入 dh=Rcos θdθ，可得:

由以上分析和式(2)可知，對一小段偏折出來的光線dA(θ)而言，所得到的入射光線的寬度越大，出射光線就越明亮，越容易通過肉眼觀察到。當dh/dA(θ)取最大值時，即A'(θ)為極小值時，出射光線將會最強。

對函數關系式(1)求極值，取光對水的折射率為n=1.333，以 θ為橫坐標，A(θ)為縱坐標，由數學軟件可得到如下函數圖像［5］(如圖2所示)。并由圖像2可得，A(θ)可取極小值138°，因此虹最大觀察角 αmax=π－A(θ)=42°。當然不同的單色光折射率不同，形成虹時其最大觀察角也不同，白色光形成虹時，各種單色光被分解開來，因此由陽光形成的虹是彩色的。

3 虹形成原因的實驗驗證

以上理論分析的結果可以通過實驗進行驗證。如圖3所示，取一個薄的圓柱形玻璃管注滿水，讓一束激光從玻璃管的一側射入，從玻璃管的同側和另一側都會有光線折射出來，改變入射光的角度，觀察從玻璃管的兩側折射出來的光線的角度和強度的變化。

圖2 偏折角與入射角的函數關系圖像

由實驗觀察的現象可知，當入射光的角度發生變化時，從兩側折射出來光線角度和強度都會產生變化。當從同側折射出來的光線與水平面夾角為最大時，這時從同側折射出來的光線強度最強、寬度最窄，其折射光線將形成一束明亮的細光束(如圖4(b)所示)，而在其他角度時，從同側折射出來的光線較寬，亮度也較暗(如圖4(a)所示)。本實驗過程中使用是綠色激光，其相對于純水的折射率為1.333，當從同側折射出的光線與水平面夾角為42°左右時，出射光的寬度最窄、強度最強。由實驗可以看出，當光線以不同角度入射時，經過水滴反射和折射后，從不同側面折射出的光線的角度與強度都會產生變化，當從同側面折射出來的光線與水平面夾角為最大角度時，折射出來的光線的寬度最窄、強度最大，在這個角度上也就最容易看到折射出來的光線。在其它角度上觀察到的折射光線都比較弱，不容易觀察到。當然對于彩虹的形成而言，當陽光照射向水滴時，在折射光線與水平面成42°角度方位上就容易觀察到彩虹。若將本文實驗中使用的綠色激光換成一束白色自然光，就可以模擬彩虹形成的現象。

圖3 激光射入注滿水的薄圓柱形玻璃管時的情形

4 利用虹形成原理測量液體的折射率

根據上面對虹形成的原因分析過程可以看出，當折射率不同時，從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax也不同。如果能測量出從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax，并得出最大夾角與液體折射率之間的關系，就可得到一種全新的測量折射率的方法。

圖4 從圓柱體同側折射出光線寬度與強度隨出射光角度的變化

在上述分析中已經得出關系式(1)。又由圖1可知:sin θ=h/R，設 sin θ=h/R=，其中R為水滴的半徑。代入式(1)可得:

其中，n為液體的折射率，對于已知液體而言，其折射率為常數，α隨著變化而變化。

當dα/d=0時，α取最大值。當α取最大值時，由上式可得。代入式(3)得:

由式(4)可知，取不同的折射率為n的液體可得到不同的αmax，利用數學軟件可繪制出(4)式的函數圖像［5］，如圖5所示，并可列出相應的數據表，如表1所示。

圖5 αmax與折射率的函數關系

表1 αmax與折射率的數值關系

圖5為αmax與折射率n的函數關系圖。如果光束照射過某液滴的αmax可以被精確測量，那么由式(4)的關系式可推得出此液體的折射率n。由于圖5應用在實際的測量上很不方便，于是為了方便由αmax的量測查出與其相對應的折射率n的值，利用圖5的結果制作了表1。只要測量出某一液體的αmax，就可以利用表1查出此液體相對應的折射率n。與傳統測量液體的折射率方法相比，利用此方法測量液體折射率有以下幾個優點:

(1)由式(4)推導過程可知，該公式推導沒有取近似，不存在系統誤差，并且αmax與n具有嚴格一對一關系，因此只要測量一個參數αmax就能夠計算出液體折射率，需要測量參數少，測量誤差就小，測量結果的精度就高。

(2)參數αmax是光從水滴中折射時出來時，折射光線與水平面最大夾角，此時折射光線最窄、最強，容易通過視覺確定其位置，因此參數αmax比較容易準確測量。在條件許可時αmax容易實現自動測量，可以減少由于人為因素造成的誤差。

(3)該測量所需要的儀器少，實驗裝置結構簡單，一般實驗室都能進行此測量。

(4)在進行測量時，既可以固定液體，測量不同單色光對同一種液體的折射率，又可以改變液體，測量同一種光對不同液體的折射率，測量方便易行。

在常溫下，通過實驗測得綠色激光對飽和食鹽水的αmax值為35°，查所對應的折射率表，可以得到，綠光對飽和食鹽水折射率:

與用其他方法測量的結果相比較，運用本文提出方法測量的結果的準確性更高。

同時由式(4)可知，αmax與水滴的半徑無關，只與液體的折射率有關。在彩虹形成時，空氣中小水滴的半徑并不相同，但由于是同種液體，所有小水滴形成的αmax都約是42°，根據幾何學原理，很容易證明出來所觀察到的虹常常是圓弧形。只不過當水滴半徑越大，觀察到的虹越明亮。

5 結語

虹是一種常見的自然現象，但要從理論上對虹進行準確的解釋是不容易的，本文從理論和實驗兩個角度解釋了虹形成的原因，文中理論推導過程中使用的數學工具簡單，避開了復雜的數學技巧，容易為普通大學生掌握和應用，本文的實驗驗證也容易在實驗室開展，并且在理論和實驗的基礎上發展出更為精確的一種測量折射率的新方法。本文提出的方法對拓展學生知識面，引導學生運用物理學與數學原理對自然現象進行解釋，提升學生運用知識的能力是十分有益的。同時本文提出的測量折射率的新方法，對液體折射率測量同樣有著實際意義。

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