對兩相材料薄板聲功率及其靈敏度研究

薛曉理，吳錦武，趙龍勝

(南昌航空大學飛行器工程學院，江西南昌 330063)

0 引 言

環境中存在各種各樣的振動現象，振動輻射噪聲污染環境，因而受到廣泛關注。機器結構聲輻射噪聲的大小成為評價其動態性能的重要指標。基于聲輻射模態研究結構聲功率及其靈敏度，對降低噪聲有重要的指導意義。聲功率靈敏度是指聲功率關于設計參數的變化率，能夠量化各設計參數對聲功率的影響程度，以聲功率靈敏度為指標，通過定量修改設計參數，降低結構輻射噪聲，是結構優化設計的重要途徑。

90年代初，Borgiotti、Cunefare、Elliott[1-3]等學者提出聲輻射模態的概念，其實質是將結構表面的振動分解成一組聲輻射獨立的速度分布，這樣聲功率可表示成每階聲輻射模態速度幅值的平方與相應特征值乘積的和。近年來，邊界元法和有限元法聯合求解聲輻射問題得到廣泛應用[4-6]。Salagame[7]等學者通過瑞利積分推出了聲功率靈敏度表達式，姜哲等[8]學者分析了加筋板的聲功率靈敏度。

本文進一步拓展求解聲功率及其靈敏度的研究范圍，基于聲輻射模態再結合有限元求解兩相材料薄板的聲功率及其關于設計參數的靈敏度。建立有限元模型，處理振動環節，用振型疊加法求解模態坐標從而求出結構的速度分布，用聲輻射模態方法處理聲輻射環節。

1 有限元模型

利用有限元法建立阻尼振動系統在外力激勵下的振動微分方程：

其中M、C、K分別為結構質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，F0為激勵力幅值向量，ω為激勵頻率，δ為振動法向位移向量。結構的阻尼一般難以準確確定，工程中常采用Raileigh阻尼，將阻尼矩陣表示成質量矩陣和剛度矩陣的線性組合[9]：

其中α、β為常數，與結構的固有頻率和阻尼比有關。設ωi、ωj分別為第i個和第j個固有頻率，ξi、ξj分別為第i個和第j個振型的阻尼比(即實際阻尼和改振型的臨界阻尼的比值)，則α、β表示為：

設在簡諧力激勵下結構法向位移響應復數形式為

將式(5)代入式(1)，約去時間項得到：

可得到：

若用式(7)直接求解，則需要矩陣求逆運算，大規模的矩陣逆運算耗時且由于取舍誤差導致運算結果誤差較大。利用振型疊加法求解模態坐標，從而求得結構的速度分布。

在求出無阻尼振動的固有頻率和振型的基礎上，將位移向量δ0看成是振型[φ]的線性組合，引入變換式：

ηi稱為模態坐標，將式(8)代入式(6)，方程左右兩端同時左乘[φ]T，得到：

將對角化后的剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣代入式(9)可實現對振動微分方程的解耦：

解式(10)得到模態坐標：

對于線性系統的動力響應分析，振型疊加法是很有效的。它的優點在于簡便。由于高振型對反應的貢獻不顯著，通常考慮前幾階振型的反應貢獻就可得到所需的精度。

振動法向速度是法向位移關于時間的導數，舍去時間因子項，得到

振速對設計參數x求偏導為：

由式(13)、(14)得到：

2 聲輻射模態模型

任意形狀的振動結構表面S以圓頻率ω振動，向無界空間V輻射聲。在空間V中充滿均勻介質，介質的密度為ρ，聲速為c。設振動表面S上的法相振速為U，輻射聲壓為P(ω)。對于單頻振動，結構的輻射聲功率[10]可表示為：

式中：Re表示取復數實部，上標H表示矩陣共軛轉置。

通過瑞利積分，平板上任一點X處聲壓P(X,ω)與結構表面法相振速可離散為

式中，Z為阻抗矩陣。

由式(17)，可將式(16)寫成如下形式[10]：R為實對稱正定矩陣[10]，將其進行特征值分解可以得到一個正交矩陣Q和對角矩陣：Λ

式(19)中，T表示矩陣轉置；n為結構離散節點數，Λ為由特征值λi構成的對角矩陣。將式(19)代入式(18)可以得到

式中：y=QH·U，稱為聲輻射模態的伴隨系數矩陣，yi為第i階聲輻射模態伴隨系數。根據式(20)，可以得到聲功率關于設計參數x的偏導數，即聲功率靈敏度為：

特別對于與分析頻率無關的參數，由于輻射表面形狀、尺寸不受影響，此時聲輻射模態不發生變化。聲功率靈敏度表達變為

3 算例及分析

3.1 聲功率分析

設采用工程中常用的矩形薄板結構，薄板由兩相材料構成，一種為剛性材料，一種為柔性材料。

設薄板的長、寬以及厚分別為a=0.2m，b=0.2m，t=0.001m 。給定結構剛性材料(鋼)和柔性材料(PVF)彈性模量分別為E1= 2 .1×1011N/m2，密度分別為ρ1=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3，空氣密度聲速c=343m/s。在板中心位置施加單頻激勵力，幅值F0=1N，激勵頻率為1:8 00 Hz。

根據 Bend?se[11]的研究結果，得到復合薄板的彈性模量和密度按照帶懲罰的變密度SIMP插值方式構成：

式中：x為材料分布密度，取= 0 .5，懲罰因子p=4。

對兩相材料薄板進行模態分析，得到了結構的前10階模態頻率見表1。

表1 簡支薄板前十階固有頻率Table.1 The first ten natural frequencies of a simple supported plate

根據式(18)得到了薄板隨頻率變化的聲功率級，所得結果如圖1所示。

分析表1和圖1可知，薄板在第一階固有頻率(72.6 Hz)處聲功率達到最大值，在結構設計時應當避免激勵頻率與第一階固有頻率接近。本例中薄板是正方形，其第(m,n)階和第(n,m)階模態頻率相等，在第5階和第6階的時候，實際激起的模態振型有兩階，因此在這個頻率(362.9 Hz)的時候，結構輻射聲功率也很大。

圖1 薄板輻射聲功率級Fig.1 Sound power level radiated by a thin plate

3.2 聲功率關于板厚的靈敏度分析

為了從理論上研究分析兩相材料薄板的厚度、分布密度和振動頻率對薄板聲輻射的影響，在上述模型的基礎上，分別改變算例中板厚和分布密度，對其進行研究。

按照算例模型，板的厚度t可變，其變化規律為：t=(0.008+0.008n) mm，(n=0,1,2,…,99)。分析了激勵頻率為100、200、300、400 Hz時聲功率及其關于板厚變化的靈敏度，得到圖2和圖3。

分析圖2、圖3可知，當聲功率達到峰值時，相應的聲功率靈敏度也達到峰值，這些峰值是由于激勵頻率與薄板的固有頻率接近使薄板產生了共振。

圖2 不同厚度下薄板的聲輻射功率Fig.2 Sound powers radiated by the plate of different thicknesses

薄板厚度在1 mm以下時，聲功率及其靈敏度隨著板厚的變化比較明顯。隨著厚度的增加，聲功率及其靈敏度會出現一些“平坦區域”，在這些區域內，板厚對聲功率的影響不明顯。

圖3 薄板關于厚度的聲功率靈敏度Fig.3 Sound power sensitivity to the thickness of the plate

隨著激勵頻率的增大，聲功率及其靈敏度的峰值位置所對應的薄板厚度在向后推移。激勵頻率為100 Hz時，峰值出現在1.36 mm處，聲功率及其靈敏度分別為81.606 dB和8.466；200 Hz時，峰值出現在2.72 mm處，聲功率及其靈敏度分別為75.548 dB和8.134；300 Hz時，峰值出現在4.16 mm處，聲功率及其靈敏度分別為75.326 dB和8.255；400 Hz時，峰值出現在5.52 mm處，聲功率及其靈敏度分別為79.312 dB和8.783。說明在實際中不是薄板的厚度越大越好，薄板的厚度應該根據結構的激勵源來確定。

3.3 聲功率關于分布密度的靈敏度分析

按照算例模型，板的材料密度分布x可變，其變化規律為：x=0.01+0.01n，(n=1,2,…,99)。分析了激勵頻率為100、200、300、400 Hz時聲功率及其關于分布密度變化的靈敏度，得到圖4和圖5。

圖4 不同分布密度下的薄板聲功率Fig.4 Sound power radiated by the plate of different distribution densities

分析圖4、5可知，當聲功率達到峰值時，相應的聲功率靈敏度也達到峰值，這些峰值是由于薄板在激勵頻率下產生了共振。在峰值之前，聲功率及其靈敏度出現了“平坦區域”，在這區域內調整結構的材料分布密度，不能有效地控制結構噪聲。在峰值之后，薄板聲功率隨密度的增大而迅速減小。

圖5 薄板關于分布密度的聲功率靈敏度Fig.5 Sound power sensitivity to the distribution density of the plate

在低頻激勵時，聲功率及其靈敏度出現峰值次數很少，隨著激勵頻率的增加，聲功率及其靈敏度出現峰值的次數也在增加，變化也越來越復雜。

3.4 聲功率綜合分析

分別取圖2和圖4峰值位置的板厚與分布密度，在相應的激勵頻率下求得相應的聲功率，得到表2。表2中的聲功率明顯小于圖2和圖4中峰值位置所對應的聲功率，說明兩相材料薄板的聲功率受到薄板厚度、材料分布密度、外界激勵頻率的綜合因素的影響。

表2 簡支薄板聲功率Table 2 Sound power radiated by a simple supported plate

綜合分析得到：當激勵頻率接近薄板固有頻率附近，結構聲輻射功率急劇增加達到峰值。在“平坦區域”內，薄板的聲輻射功率并不隨著板厚與密度分布的增加而減小，這主要是由于薄板的固有頻率隨著板厚與分布密度的變化而變化，從而引起聲輻射功率的變化。同時可以看出，隨著結構厚度或者分布密度的增加，結構輻射聲功率的總體變化趨勢是減小的，但聲輻射功率并不是隨結構厚度或者分布密度的增加而單調減小，在某些厚度或者分布密度下，結構輻射聲功率不降反升。同時也說明，薄板結構并不是越厚越好，也不是密度越大越好，其厚度與分布密度值的選擇還應取決于激勵源特性。

4 結 論

本文利用有限元與聲輻射模態對兩相材料薄板結構的聲輻射聲功率及其關于設計參數的靈敏度進行了研究，以四邊簡支正方形薄板為例，分析了激勵頻率、薄板厚度與分布密度的變化對其聲輻射的影響。在有限元部分，用振型疊加法求解模態坐標得到位移向量，從而得到薄板表面速度分布。基于聲輻射模態理論，求解了聲功率及其關于設計參數的靈敏度。

數值計算結果表明：對于動力響應分析，振型疊加法是很有效的。激勵頻率、不同的板厚與分布密度對薄板的聲輻射都有較大的影響。

將有限元與聲輻射模態方法相結合，可以實現對任意邊界條件薄板的聲輻射特性進行研究，從而為低噪聲設計提供理論依據，對實際中結構的設計有重要的指導意義。

參考文獻

[1] Giorgio V Borgiotti. The power radiated by a vibrating body in an acoustic fluid and its determination from boundary measurements[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1990, 88(4): 1884-1893.

[2] Cunefare K A, Koopmann G H. Acoustic design sensitivity for structural radiators [J]. ASME, J. Vib. Acoust, 1992, 114(2):178-186.

[3] Elliott S J, Johnson M E. Radiation modes and the active control of sound power[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1993, 94(4): 2194-2204.

[4] 張軍, 兆文忠, 張維英. 結構聲輻射有限元/邊界元法聲學-結構靈敏度研究[J]. 振動工程學報, 2005, 18(3): 366-370.ZHANG Jun, ZHAO Wenzhong, ZHANG Weiying. Research on acoustic-structure sensitivity basing on FEM and BEM[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(3): 366-370.

[5] 白楊, 汪鴻振. 聲學-結構設計靈敏度分析[J]. 振動與沖擊, 2003,22(3): 43-46.BAI Yang, WANG Hongzhen. Acoustic-Structural design sensitivity analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003, 22(3): 43-46.

[6] 陳劍, 程昊, 高煜, 等. 基于有限元—邊界元的聲學構形靈敏度分析[J]. 振動工程學報, 2009, 22(2): 213-217.CHEN Jian, CHENG Hao, GAO Yu, et al. Acoustic configuration sensitivity analysis based on FEM and BEM[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(2): 213-217.

[7] Salagame R R, Koopmann G H. Analytical sensitivity of acoustic power radiated from plates[J]. J. Vib. Acoust, 1995, 117(1): 43-45.

[8] 邱亮, 姜哲, 袁國清. 基于聲輻射模態的粘彈性阻尼板聲功率靈敏度[J]. 噪聲與振動控制, 2009, 5(5): 131-135.QIU Liang, JIANG Zhe, YUAN Guoqing. Analysis of sound power sensitivity of viscoelastic damping plates based on acoustic radiation modes[J]. Noise and Vibration Control, 2009, 5(5):131-135.

[9] 王元漢, 李麗娟, 李銀平. 有限元法基礎與程序設計[M]. 廣州:華南理工大學出版社, 2001: 157.WANG Yuanhan, LI Lijuan, LI Yinping. Finite element theory and programming[M]. Guangzhou: South China University of Technology Press, 2001: 157.

[10] 姜哲. 聲輻射問題中模態分析: I理論[J]. 聲學學報, 2004, 29(6):507-515.JIANG Zhe. A modal analysis for the acoustic radiation problems:I Theory[J]. Acta Acustica, 2004, 29(6): 507-515.

[11] Bend?se M P, Sigmund O. Material interpolation schemes topology optimization[J]. Arch Appl Mech, 1999, 69(9-10): 635-654.