Alpha穩(wěn)定分布序列的數(shù)值仿真方法

彭 成，王平波，劉旺鎖

(海軍工程大學，湖北武漢 430033)

0 引 言

水聲混響信號的統(tǒng)計特性表明，它具有顯著的尖峰脈沖特性和厚拖尾現(xiàn)象。這與機載雷達的地面散射干擾非常相似。因此主動聲吶抗混響可以借鑒Alpha穩(wěn)定(Sα)分布在雷達雜波抑制[1]中的應用方法[2]。

Alpha穩(wěn)定分布[3]又稱為非高斯穩(wěn)定分布，最初由利維(Levy)于1925年提出。但直到1993年，Shao和 Nikias的論文[4]才將對稱 Alpha穩(wěn)定分布(S Sα分布，一類Sα分布特例)模型應用于描述具有尖峰沖激、厚拖尾的噪聲。目前大多數(shù)信號處理的研究都假設噪聲或干擾是服從高斯分布[5,6]。然而實際干擾的統(tǒng)計特性并不總是符合高斯假設的，它們常具有顯著的尖峰，如雷達地面散射干擾、主動聲吶混響干擾、音頻信號噪聲、遠程電話噪聲等。對于這些干擾信號，基于高斯假設顯然是不恰當?shù)摹６鳶α分布模型，能取得較好的處理效果。

目前信號處理中都使用標準參數(shù)系表征Sα分布。因此本文從Sα分布模型的定義和性質(zhì)出發(fā)，討論了易混淆的三種參數(shù)系的關系，進而實現(xiàn)了標準參數(shù)系下Sα分布隨機變量的產(chǎn)生。通過該方法產(chǎn)生不同參數(shù)組合的隨機序列，并將對應的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)與理論對PDF進行對比分析，驗證Sα分布隨機變量產(chǎn)生方法的正確性。

1 Alpha穩(wěn)定分布的定義及性質(zhì)

αS分布是廣義的高斯分布，它比高斯分布具有更廣泛的適用性。通常通過特征函數(shù)來給出αS分布的定義。αS分布具有三種不同的參數(shù)系[7]表征方法，即標準參數(shù)系S、S1參數(shù)系和S2參數(shù)系。而標準參數(shù)系下的定義是最常用的。

定義 1[3]：如果隨機變量X存在參數(shù)0 ＜α≤2,γ≥ 0 ,?1 ≤β≤1和實數(shù)μ使其特征函數(shù)如式(1)所示?(t)=

則稱隨機變量X服從S參數(shù)系下的αS分布。式(1)中，參數(shù)α稱為特征指數(shù)，決定分布脈沖特性的程度；β稱為對稱參數(shù)，用它來確定分布的斜度；σ稱為分散系數(shù)，它是分散程度的度量；參數(shù)μ稱為位置參數(shù)。然而在標準參數(shù)系下，當α=1，β≠0時，其特征函數(shù)在隨機變量的取值上均不連續(xù)。

定義 2[3]：S1參數(shù)系的產(chǎn)生是為了消除S參數(shù)系特征函數(shù)的不連續(xù)性，其特征函數(shù)如式(3)所示?(t)=

其中μ1與S參數(shù)系的μ具有如下式的關系

這個特征函數(shù)在α、β的所有值均聯(lián)合連續(xù)，但有一點不足是其μ1不再具有位置參數(shù)原有的意義，而其他三個參數(shù)與S參數(shù)系下對應參數(shù)相同。

定義 3[3]：S2參數(shù)系主要是利于理論分析和推導，其特征函數(shù)具有如式(5)所示的形式?(t)=

其中參數(shù)α和μ與標準參數(shù)系的對應參數(shù)相同，參數(shù)β2和σ2與標準參數(shù)系下的參數(shù)變換關系如下：

當1≠α時

當1=α時

特征函數(shù)是研究αS分布的一個有用工具，利用它可以得出穩(wěn)定分布的很多性質(zhì)，下面只給出本文需要的兩個基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：若X～S(α,σ,β,μ)，a是一個實常數(shù)，則

性質(zhì)2：若X～S(α,σ,β,μ)，b是一個非零的實常數(shù)，則

2 Alpha穩(wěn)定分布的產(chǎn)生方法

S1參數(shù)系的作用是為了消除S參數(shù)系在α=1,β≠ 0 時的不連續(xù)性；而S2參數(shù)系的主要作用是便于理論推導和分析。因此通過S1、S2參數(shù)系與S參數(shù)系間的轉換關系，就能產(chǎn)生出S參數(shù)系下符合αS分布的隨機變量及畫出PDF圖。

(2) 然后再根據(jù)S和S2兩個參數(shù)系間的轉換關系，推導出標準參數(shù)系下服從S(α,β, 1, 0)分布的隨機變量Y的生成方法。

當α≠1時，首先定義

其中Mα,β代表了參數(shù)σ2與σ間的變換關系；Nα,β代表了參數(shù)β2與β間的變換關系，用以替代S2參數(shù)系產(chǎn)生方法中的V0。于是Y=

當α=1時，M =π/2，β2=β ，有

生成的Y即為標準參數(shù)系下服從Y～S(α,β,1,0)分布的隨機變量。

(3) 再利用αS分布的兩個基本性質(zhì)，可得

這里，隨機變量Z即滿足Z～S(α,β,σ,μ)。

如此即產(chǎn)生了標準參數(shù)系下滿足四個參數(shù)規(guī)定范圍內(nèi)的、服從任意參數(shù)值組合的αS分布隨機變量。

3 Alpha穩(wěn)定分布序列的生成

由于Sα分布的特征函數(shù)與概率密度函數(shù)具有如下的對應關系：

而S參數(shù)系下特征函數(shù)在α=1、β≠0時不連續(xù)，因此采用直接數(shù)值積分法[8]來計算概率密度函數(shù)值。首先對S1參數(shù)系下的特征函數(shù)進行數(shù)值積分，克服S參數(shù)系下的不連續(xù)性，然后利用S參數(shù)系與S1參數(shù)系下參數(shù)間的變換關系及αS分布的兩個基本性質(zhì)，即可計算出S參數(shù)系下的概率密度函數(shù)值。

通過運用上述αS分布隨機變量生成方法，分別產(chǎn)生三組不同參數(shù)組合的 1000點穩(wěn)定分布隨機變量序列。同時利用產(chǎn)生的隨機變量序列通過直接數(shù)值積分法計算出概率密度函數(shù)值，并與統(tǒng)計PDF進行性能分析比較，如圖1~3所示。

圖1 S(1.8,0,1,0)分布序列及PDFFig.1 The sequence and PDF of S(1.8,0,1,0)

圖2 S(1.5,0.8,4,1)分布序列及PDFFig.2 The sequence and PDF of S(1.5,0.8,4,1)

圖3 S(1.2,0.5,2,1)分布序列及PDFFig.3 The sequence and PDF of S(1.2,0.5,2,1)

由圖1(a)~3(a)可以看出，αS分布隨機變量隨著特征指數(shù)α的減小，其尖峰脈沖性越顯著。而由圖1(b)~3(b)可知，本文方法產(chǎn)生的隨機變量序列通過直接積分法得到的PDF與Sα分布的統(tǒng)計PDF擬合性能很好，驗證了本方法的正確性。

圖4 Sα(0,1,0)分布的PDF拖尾Fig.4 The PDF tails of Sα(0,1,0)

圖4繪出了不同α取值下的Sα分布PDF拖尾比較，可進一步演示驗證Sα分布的特性：α取值越小，其拖尾越厚，說明大樣本發(fā)生概率越高，非高斯脈沖性越強；反之，α取值越大，其拖尾越薄，說明大樣本發(fā)生概率越低，非高斯脈沖性越弱。

4 結束語

本文詳細介紹了如何在標準參數(shù)系下產(chǎn)生αS分布隨機變量的方法，即利用S1、S2參數(shù)系與S參數(shù)系參數(shù)間的轉換關系來產(chǎn)生隨機變量，克服了S系不便于理論分析和推導的缺點。

通過產(chǎn)生三組不同參數(shù)組合的Sα分布隨機變量序列，對產(chǎn)生的序列直接積分求PDF并與Sα分布的統(tǒng)計PDF進行性能比較，結果擬合非常好，驗證了產(chǎn)生方法的正確性和有效性。本文的隨機變量產(chǎn)生方法能產(chǎn)生S Sα分布隨機變量，這為后續(xù)主動聲吶抗混響信號處理研究能提供準確的仿真數(shù)據(jù)基礎，是值得深入研究的。

參考文獻

[1] 呂曉蕊. Alpha穩(wěn)定分布的模型仿真及參數(shù)估計[D]. 武漢: 華中科技大學, 2008.Lü Xiaorui. Modeling simulation and parameter estimation of alpha stable distribution[D]. Wuhan: Huzhong University of Science and Technology, 2008.

[2] 王汗青. 基于對稱 Alpha穩(wěn)定分布的水聲信號處理技術研究[D].武漢: 海軍工程大學, 2012.WANG Hanqing. Study on underwater acoustic signals processing based on symmetrical alpha stable distribution[D]. Wuhan: Naval University of Engineering, 2012.

[3] 邱天爽, 張旭秀, 李小兵, 等. 統(tǒng)計信號處理: 非高斯信號處理及其應用[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2004.QIU Tianshuang, ZHANG Xuxiu, LI Xiaobing, et al. Statistical signal processing: non-gaussian signal processing and its application[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2004.

[4] Shao M, Nikias C L. Signal processing with fractional lower order moments: stable processes and their applications[J]. Proceedings of the IEEE, 1993, 81(7): 986-1010.

[5] 朱埜. 主動聲吶檢測信息原理[M]. 北京: 海洋出版社, 1990.ZHU Ye. Information principles of active sonar signal detection[M]. Beijing: Ocean Press, 1990.

[6] Whalen A D. Detection of signals in noise[M]. New York: Academic Press, 1971.

[7] Rafal Weron. On the Chambers-Mallows-S-tuck method for simulating skewed stable random variables[J]. Statistics & Probability Letters, 1996, 28(2): 165-171.

[8] Nolan J P. An algorithm for evaluating stable densities in zolotarev’s parameterization[J]. Mathematical and Computer Modelling,1999, 29(3): 229-235.