高等代數教學中的幾點感悟

宋雪麗

摘 要：在大學數學課程中，高等代數是其中一門十分重要的科目。結合教學實踐，談了一些感悟。

關鍵詞：內容；概念；方法

高等代數是大學數學課程中一門重要的專業基礎課程，為后繼課程提供必不可少的數學理論基礎知識，一般都在大學一年級開設。由于該課程是學習大學后繼相關課程的基石，同時也是研究其他學科的工具，許多高等院校都將高等代數列為研究生招生考試課程，因此，該課程在整個專業課程體系中地位很高。由于該課程的抽象性和枯燥性，許多初學者往往覺得學起來很困難。因此，作為高校教師，如何培養學生對高等代數的學習興趣，提高高等代數的課堂教學質量顯得尤為重要。結合多年的教學實踐經驗，下面我談談在《高等代數》教學中的一些感悟。

一、盡量與中學數學內容相聯系

高等代數課程中的許多教學內容與中學數學有著緊密的聯系。例如數與數域，中學教材中有整數、有理數、實數及復數。高等代數中介紹了數域的概念；多項式，在中學數學教材中就有多項式的加、減、乘、除四則運算法則。在高等代數中嚴格定義了多項式的次數及加法、減法、乘法運算，介紹了多項式的整除理論及最大公因式理論；方程，中學教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根與系數的關系。高等代數中介紹一元n次方程根的定義、復數域上一元n次方程根與系數的關系及根的個數、實系數一元n次方程根的特點、有理數一元n次方程根的性質及其求法；方程組，中學教材中有二元一次方程組、三元一次方程組的消元解法。高等代數中有n元一次線性方程組的行列式解法（克拉默法則）和矩陣消元解法、線性方程族解的判定及解與解之間的關系；空間與圖形，中學教材中有平面與空間向量的長度與夾角，高等代數中有歐式空間向量的長度和夾角。

通過以上分析，高等代數與中學數學在內容上有很多相關聯的地方。不同的是中學數學知識比較淺顯，面也比較窄，而高等代數將中學數學的內容拓寬了許多，同時也抽象了許多。因此作為老師，要正確地引導學生以較高的觀點去認識中學教學內容。例如，通過線性方程組的矩陣解法、有解判別定理以及解的結構所反映的辨證思想，指導學生對中學數學的加減消元法本質的認識。高等代數中有許多概念，有些概念比較抽象，學生也不明白這個概念有什么用。這種情況下，老師在講課時，可以先不必馬上講出這個概念，可從學生所熟悉的中學知識出發，由具體到抽象，慢慢地轉到主題上。

二、深刻理解概念

高等代數中概念很多，幾乎每一章節都涉及到了概念，而且有些概念還很相似，好多題的證明都要通過概念來證明。因此，在教學中，要讓學生深刻理解、體會概念。譬如，階行列式的定義，是由所有位于不同行不同列的n個元素乘積的代數和得到的。只有深刻明白了這個定義，才能用行列式的定義來解題。還有多項式中，零多項式與零次多項式的區別，線性空間的同構與歐幾里得空間的同構的相似點和區別。

俗話說：“書讀百遍，其義自見”，要告誡學生多讀幾遍書，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解題中熟練、靈活地運用這些概念來證明。

三、課堂上注重教學方法

教師的教學方法是影響學生學習方式的重要因素，在培養學生的創新能力方面起到重要作用。為了上好每一堂課，老師一定要注意教學方法。我曾參加了全國高校教師網絡培訓課程，聽了張賢科老師主講的高等代數，受益很多。張老師在講一些高等代數內容時，根本沒有按課本思路去講，有些性質的證明運用其他方法來證。大家都知道高等代數中很多章節內容是彼此相關聯的。老師在講課中，沒必要完全照課本來講，例如，講一個定理或一條性質的證明，可以運用以前所學的知識證出來，老師可鼓勵學生運用不同的方法來證明，激發學生的思維能力，這樣學生也會覺得不是太枯燥。

上課時切忌照本宣科，要說課，這節課大家需要掌握什么，教學大綱的要求，考試要考的知識，重點、難點是什么，使學生清楚這節課堂的目的，做到有的放矢。代數學的一些重要內容，例如集合的線性運算、八條運算規則、等價關系等經常出現的內容，我們采用類比的方法進行講授，使學生能觸類旁通，舉一反三。對于一些難于理解的定理的證明，則著重介紹證明思想及每個證明階段的技巧和預備知識，并要求學生課后復習。對于一些較抽象的概念，在講授之前，應盡可能地介紹它們的應用背景或簡單例子，啟發學生思維從具體到抽象升華。

針對高等代數這門課程的特點，應注意傳統教學手段與現代化教學手段相結合。概念性知識較多的章節可以應用多媒體技術，而對那些理論證明較多，難以理解的內容，則采用傳統的教學手段，一步步引導學生推理驗證，更易于讓學生接受、掌握。

四、培養學生數學思維的審美性

數學同其他學科一樣，蘊含著美，存在著美的價值。代數學這朵奇葩，更以其高度的抽象性，理論的嚴謹性，應用的廣泛性，在數學王國里獨領風騷，展現出其多姿多彩的迷人風貌。

高等代數的美是內在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所發現、接受。這就要求我們在教學中注意引導學生挖掘數學美，審視數學美，追求數學美，創造數學美。只有如此，我們才能將抽象的概念、空洞的定理、刻板的推導、繁瑣的計算、枯燥的理論變換成一種美的享受，美的追求。這對誘發學生的求知欲，激發學生的學習興趣，提高學生的學習效率起著極大的推動作用。

高等代數中，蘊含著許多數學特有的美，數學的語言美在高等代數中表現得淋漓盡致。數學語言是一種科學的語言，它除具有一般語言文字和藝術共有的特點外，更有“符號化”的特點。例如，用AX=B，其中A=（aij）mn，X=x1x2…xn，B=b1b2…bm，表示一個有m個方程n個未知量的線性方程組，多么簡潔明快。另外，高等代數的美也體現在證明過程的邏輯嚴密上，許多定理的證明層層遞進，嚴絲合縫，看懂了一個證明，就能給人一種驚嘆佩服、賞心悅目的感覺。

總之，高等代數中的數學美無處不在，只要我們教師在教學過程中用心去揭示，從美的角度去挖掘，并積極引導學生去欣賞、體味定能感覺美不勝收，回味無窮，教學質量必將提高。

注：西安科技大學博士啟動基金資助項目（2012QDJ040）。

（作者單位 陜西省西安科技大學理學院）

編輯 薛直艷endprint