UCM流體的最小二乘有限元解法

周少玲

(河北工程大學 理學院，河北 邯鄲 056038)

非牛頓流體力學是一門新興的學科，它起源于高聚物加工的需要，涉及廣泛的工業領域，是力學、現代數學、化學和各工程科學的交叉與綜合，特別是與材料科學有著十分密切的聯系[1-3]。它是現代流體力學的重要分支，也是現代流變學的重要組成部分。近幾十年來，由于人們認識到一些復雜的流體(例如聚合物溶液、血液、油漆等等)不能用Navier-Stokes方程來描述，因此對非牛頓流體模型方程的研究越來越受到學者們的重視[4]。非牛頓流體的運動方程要比Navier-Stokes方程階數更高，并且具有更強的非線性性質。UCM模型[5]能夠很好地描述某些二階流體(例如具有高Deborah數的彈性流體)的流變特征，本文主要討論該模型的數值解法。

1 預備知識

設Hs(Ω)(s≥0)為Soblev空間，其內積和范數分別為(.,.)和‖ · ‖s。當s=0時，Hs(Ω)空間即為L2(Ω)空間，相應的范數、內積分別為(.,.)和‖ · ‖。引入下面兩個函數空間

(1)

2 本構方程線性化

考慮穩定的不可壓縮UCM蠕動流體

(2)

首先引入下面的函數空間

V={v|vH1(Ω)d,v|Γ=0}

Q={q|q

Ts={τ|τL2(Ω)d×d,τij=τji}

T={τ|τTs,‖u1·τ‖<∞}

這里u1是速度u的近似值，L2(Ω)d×d是由d×d維矩陣函數構成的空間，且矩陣中每個元素都是平方可積的，記Φ=V×Q×T。

由于UCM流體的本構方程(即(2)中的第3個方程)是非線性的，所以其數值求解比較困難，考慮將本構方程進行線性化處理。設τ1為τ的近似值，且u1和τ1滿足

(3)

max{ ‖u1‖∞, ‖u1‖∞, ‖τ1‖∞, ‖τ1‖∞}≤M<∞

(4)

對本構方程中的非線性項進行線性化近似

u·τ≈u1·τ+u·τ1-u1·τ1

(5)

g(u,τ)≈g(u1,τ)+g(u,τ1)-g(u,τ1)

(6)

非線性問題(2)轉化為

(7)

其中B(u,τ)=λ(u·τ1-g(u1,τ)-g(u,τ1),F=λ(u1·τ1-g(u1,τ1)。定義如下的最小二乘泛函

J(u,p,τ;F)=‖p-·u‖2+‖τ+λ(u1·τ)+B(u,τ)-2ηD(u)-F‖2

(8)

對于(u,p,τ)，給出下面的范數

(9)

定理1 假設(u,p,τ)Φ，則存在正的常數c和C，使得對于足夠小的M和λ有

c‖ |(u,p,τ)| ‖≤J(u,p,τ;0)≤C‖ |(u,p,τ)| ‖

(10)

證明：顯然，右面的不等式可以由范數的三角不等式和 (4) 式推導出來，下面只需證明左邊的不等式。記

H=‖p-·u‖2+‖τ+

λ(u1·τ)+B(u,τ)-2ηD(u)‖2

任取φ由格林公式和柯西-施瓦茲不等式得

設φ≠0，則

由H-1(Ω)空間范數的定義，得

(11)

根據文獻[6]中的引理2.1，有‖p‖0≤

C‖p‖-1成立，得到下面的不等式

‖p‖0≤C(‖p-·τ‖-1+‖τ‖)≤

(12)

利用文獻[7]中的定理2.1，可得

‖u‖1≤C1‖u‖≤C2‖D(u)‖

(13)

‖u·τ‖≤

(14)

‖D(u)‖2+‖τ‖2≤CH

(15)

J(u,p,τ;0)≥‖p-τ)-2ηD(u)‖2-‖B(u,τ)‖2≥p-·u‖2+‖τ+

λ(u1·τ)-2ηD(u)‖2)-‖B(u,τ)‖2=

又因為

‖B(u,τ)2=λ‖u·τ1-g(u1,τ)-g(u,τ1)‖2≤λ(‖u·τ1‖2+‖g(u1,τ)‖2+

‖g(u,τ1‖2)≤CM2λ(‖u‖2+‖τ‖2+

得到

C‖ |(u,p,τ)| ‖ 證畢

3 有限元求解

上面的定理證明了泛函J(u,p,τ;0)的橢圓性，但是因為其中包含了范數‖·‖-1，所以并不實用。考慮將范數‖·‖-1用‖·‖代替，但對于各項需要乘以適當的權。建立如下新的泛函

Jh(u,p,τ;F)=‖p-·τ‖2+h-2

2ηD(u)-F‖2

(16)

問題的求解就轉化為最小二乘問題：求(u,p,τ)Φh，使得

(17)

將式(16)記為

Jh(v,q,σ;F)=‖L1(σ,q)‖2+

h-2‖L2(v)‖2+h-2‖L3(σ,v)-F‖2

(18)

4 結語

UCM流體模型能夠較好地描述一類非牛頓流體，但是由于其非線性的特點，其數值求解往往比較困難。本文在算子水平將非線性項線性化，并使用最小二乘有限元方法和迭代方法求解，算法的實用性較強。

參考文獻：

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