基于參數自適應EKF的隧道周邊位移預測

凌同華，吳聯迎，劉浩然，曹 峰，張 勝，李 潔

在新奧法施工中，隧道周邊位移為隧道監控量測的必測項目［1］。對周邊位移進行準確、及時的監測，同時據此進行可靠性的預測，以了解未來位移的變化發展趨勢，為隧道穩定性控制和安全施工提供了動態參考。

由于隧道周邊位移受多種因素的影響，而有些因素的影響難以進行定量和定性分析，使得周邊位移具有非線性特性，因此，一般的數學方法難以恰當地對其進行描述和預測。目前，用于監控量測預測的方法很多，如：支持向量機［2］、灰色模型［3］、人工神經網絡［4］、自適應模糊推理系統［5］及遺傳算法［6］等，這些方法各有優劣。

卡爾曼濾波是當前應用最廣的一種動態數據處理方法，具有最小無偏方差特性［7－10］。其濾波過程實質為一種遞推算法，對所需估計的動態過程進行了線性估計。對于隧道周邊位移這樣的非線性過程，擴展卡爾曼濾波通過對其進行線性泰勒處理，使其得以實現濾波，該方法簡單、有效。因此，擴展卡爾曼濾波為隧道周邊位移預測提供了可靠的理論基礎。在使用濾波算法時，需要精確的模型參數和噪聲方差統計，否則，易致濾波發散，使得實際應用中存在一定的障礙。據此人們提出各式各樣的自適應方法，以減弱模型誤差和噪聲方差統計不足的影響。在這些自適應方法中，人們更多地探討了方差自適應方法，而未予討論參數自適應法。作者擬采用參數自適應擴展卡爾曼濾波，對周邊位移進行濾波預測處理，并探討其適用性。

1 擴展卡爾曼濾波算法

1.1 卡爾曼濾波

對于線性隨機系統，有

式中：xk，xk＋1分別為k，k＋1時刻系統狀態向量；Ak為狀態轉移矩陣；Γk為系數矩陣；vk為觀測向量，Ck為觀測矩陣；ξk為系統噪聲序列；ηk為觀測噪聲序列。

系統噪聲序列和觀測噪聲序列相互獨立，時變 噪 聲 統 計 為：E （ξkξlT）＝Qkδkl，E （ηkηlT）＝Rkδkl，E（ξkηlT）＝0，E（ξkx0T）＝0，E（ηkx0T）＝0，其中：δkl為克羅蒂亞系數（k＝l時，δkl＝1；其余情形，δkl＝0）。卡爾曼濾波算法［11］可描述為：

式中：p0，0為初始誤差估計矩陣；pk，k－1為一步預測誤差矩陣；Gk為濾波增益矩陣；pk，k為估計誤差矩陣；I 為單 位矩陣；x0，0為狀態 估 計 初 始 值，x＾k，k－1為一步預測值，x＾k，k為狀態估計值，Qk為過程噪聲誤差矩陣；Rk為觀測噪聲誤差矩陣。

1.2 擴展卡爾曼濾波

對于非線性系統，有

式中：fk為系統k至k＋1時刻的轉移矩陣；Hk∈Rn×q為矩陣函數；gk為k時刻系統觀測矩陣。

對于每個k，fk（xk）和gk（xk）對xk所有分量的一階偏導都是連續的。以卡爾曼濾波算法為基礎，進行泰勒線性處理，可得擴展卡爾曼濾波算法［11］。

2 參數自適應擴展卡爾曼濾波算法

擴展卡爾曼濾波的正常應用需要精確已知的模型參數和噪聲方差統計，實際應用中往往難以得知，因此需要采取恰當的自適應方法進行彌補。目前較多的自適應方法集中于方差自適應方法，即通過方差的調整達到減小或增大增益Gk，從而實現一定程度的發散抑制。然而，濾波的發散受模型參數和噪聲方差統計的雙重影響。當模型參數已不適用于濾波計算時，方差自適應法也就約束不了濾波的發散了。因此，進行相關參數自適應方法的研究，彌補其在隧道變形預測分析應用中的空白，具有一定的意義。

2.1 殘差特性因子

欲對濾波模型參數進行實時的修正，首先需判斷模型的斂散趨勢，可通過當前濾波預測殘差絕對值與往期預測殘差絕對值的均值的比值來加以判斷，殘差特性因子θ的定義表達式為：

式中：Lk為預測殘差，Lk＝vk－gk（x＾k，k－1）。

①當θ≤1時，即當前預測殘差絕對值小于往期預測殘差絕對值的均值，濾波正常。②當θ＞1時，即當前預測殘差絕對值大于往期預測殘差絕對值的均值，濾波出現偏離，可能發散，為預防濾波失效，可為θ設立閾值θ0（θ0可根據預測精度要求設立，如：取θ0為2或3）；當θ＞θ0時，判斷為濾波發散。

2.2 模型參數調節系數

對擴展卡爾曼濾波進行一步預測，有

一步預測誤差矩陣計算式為：

受模型參數的影響，需引入模型參數調節系數s（θ≤1時，濾波正常，取s＝1；θ＞1且θ＞θ0時，濾波發散，取s＝1＋α，α＝， 為經驗參β數，可取為0.7～1.0）。根據殘差特性因子，判斷濾波的斂散性。利用模型參數調節系數，對濾波模型進行相應的縮放調節。進而抑制濾波發散，實現擴展卡爾曼濾波的參數自適應，則有

故對于k＝1，2，…，參數自適應擴展卡爾曼濾波算法可歸結為：

3 工程實例分析

3.1 工程概況

葵壩路一標2號隧道，樁號YK3＋565～YK3＋600段洞頂埋深275～290m，凈寬10.72m，內凈高7.14m，巖質堅硬，解理裂隙不發育，圍巖的完整性及穩定性均較好，自穩能力較強，設計圍巖等級為Ⅱ級，采用新奧法原理進行設計與施工，全斷面開挖。以YK3＋590斷面周邊位移為例，進行理論驗證，測線布置如圖1所示。（文獻［1］中說明：一般地段全斷面開挖時，布置一條水平測線即滿足要求）

圖1 斷面測線布置Fig.1 Measuring line layout chart of section

3.2 實例分析

由于無法得知確切的周邊收斂變化的轉移方程，因此，采用前6期觀測值進行曲線擬合，作為其轉移方程，即：f（xk）＝5.398 5×exp（0.063 9xk），初始值可根據具體情況人為設置［12］，取p0，0＝0.025，Q0＝0.01，R0＝0.01，x＾0＝16.59。 依據標準型和參數自適應型擴展卡爾曼濾波算法，分別進行濾波預測處理，將兩種濾波計算結果進行整理，見表1。

表1 標準型和參數自適應型擴展卡爾濾波計算的結果Table 1 Standard EKF and parameter adaptive EKF calculation

表1第7期中濾波預測的殘差特性因子θ＝3.21大于預設的閾值（θ0＝2），濾波有發散的趨勢，采用模型參數調節系數s進行修正。從表1中可以看出，修正后的參數自適應型預測殘差（表1中標★處，其最大預測誤差為0.06mm，平均預測誤差為0.048mm）要明顯小于未經修正的標準型預測殘差（表1中標☆處，其最大預測誤差為0.26mm，平均預測誤差為0.24mm）。這說明參數自適應擴展卡爾曼濾波模型的預測值與觀測值更為接近，其預測性能更優。

4 結論

1）參數自適應擴展卡爾曼濾波能有效抑制濾波發散，其預測值更接近于觀測值，其預測效果優于標準型的。

2）用參數自適應擴展卡爾曼濾波模型進行隧道周邊位移預測是可靠和精確的。通過該模型得知該斷面AB預測平均誤差為0.048mm，其最大誤差為0.06mm，濾波預測精度較高，為隧道周邊位移預測提供了一種新的方法。

（

）：

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