基于等風險的抽樣檢驗方案

田 英，蔣仁言

抽樣檢驗是指從一批產品或過程中隨機抽取部分樣本進行檢驗，并將檢驗結果與判斷標準比較，進而決定該批產品是否接收的活動。其中，抽取的樣本量和有關批判斷準則的組合為抽樣檢驗方案，簡稱抽檢方案。抽樣檢驗是通過樣本來判別總體的，難免會將合格的產品批錯判為不合格，導致整批拒收，其概率α稱為生產方風險；或將不合格的產品批錯判為合格，導致整批接收，其概率β稱為使用方風險。因此，在確定抽檢方案前，生產方和使用方應共同協商，合理確定兩類風險的大小，以及產品批的接收質量水平（Acceptable Quality Level，簡稱為AQL）與拒收質量水平（Rejectable Quality Level，簡稱為RQL），以保護雙方利益。

抽檢方案對產品優劣的判別能力可用接受概率來衡量。接收概率是指根據規定的抽檢方案，把具有給定質量水平的檢驗批判為接收的概率，它是關于批質量指標（如：不合格品率p、平均值μ）的函數，這個函數稱為抽樣特性函數（Operating Characteristic Function，簡稱為OC函數）；如果以質量指標為橫坐標，接收概率為縱坐標，由兩者之間關系作的曲線為抽樣特性曲線（Operating Characteristic Curve，簡稱為OC曲線）。抽樣檢驗依據檢驗批的質量指標及其質量特性分為計數型和計量型兩類。美國貝爾實驗室的道奇（Dodge）和羅米格（Roming）是抽樣檢驗的創始人，他們把數理統計引入到質量管理領域。針對計數型抽樣檢驗，道奇的抽樣理論提出了兩類風險和兩個質量水平的概念。隨后，很多文獻［1－3］應用統計抽樣檢驗理論，由事先確定的4個參數，把（AQL，1－α）和（RQL，β）作為OC曲線上的兩個約束點來設計抽檢方案。但在生產實踐中，這些參數多數是根據產品過程質量的先驗信息或產品的質量要求來確定的，很難獲得精確值。Tong［4］等人應用模糊超幾何分布和模糊泊松分布，設計了模糊抽檢方案，以解決參數不精確和模糊的問題。Jiang［5］對參數確定時存在主觀性，引起不公平情況，提出了等風險方法，并應用二項分布模型，確定了計數型抽檢方案。然而，用二項分布模型，相當于每次抽樣后把樣本放回總體中去，但這只有在樣本量遠遠小于批量時，誤差才可以忽略。而生產中，小批量的情況并不罕見，樣本不可能遠遠小于批量，因此二項分布模型不精確。

作者擬應用等風險方法，通過確定等風險質量水平和平均風險兩個參數，設計基于超幾何分布模型的一次計數型和基于正態分布模型的計量型抽檢方案。并通過實例，分析等風險方法與傳統方法的聯系與區別。

1 傳統抽樣檢驗方法

1.1 計數標準型一次抽樣檢驗方案

1.1.1 原理及參數設定

計數型抽樣檢驗是把樣本中的每個產品分為合格品和不合格品，并與抽檢方案中的不合格品的判定數對比，判斷批是否接收。設批接收概率為L（p），給定AQLp0，RQLp1，α及β。抽檢方案滿足：當產品質量較好時（p ≤p0），以高概率（L（p）＝1－α）判為接收；當產品質量較差時（p≥p1），以低概率（L（p）＝β）判為接收；當產品質量變壞時（p0≤p≤p1），接收概率應迅速減少，其OC曲線如圖1所示。

圖1 計數標準型一次抽樣檢驗方案的OC曲線Fig.1 The OC curve of single sampling for having desired plan by attributes

α和β作為選取p0，p1的標準，通常取10%（國家標準中α＝0.05，β＝0.1）；p0，p1則由供需雙方協商確定。先根據參照法、反推法、計算法、歸納分類法、過程平均法及損益平衡點等方法確定。再依據p0確定相應p1，若p1／p0過小，會增加抽檢樣本量，使費用增加。為此，p1與p0需拉開一定距離。但p1／p0過大，又會放松對質量的要求，對使用方不利。當α＝0.05，β＝0.1時，國際電工委員會推薦（IEC）p1為p0的1.5倍，2倍或3倍［7］，也有國家推薦p1為p0的4～10倍［8］。

1.1.2 計數型數學模型

從批量為N的產品中隨機抽取容量為n的樣本進行檢驗，通過樣本中不合格數x來判定該批是否合格。當x≤c時，接收該批產品；當x＞c時，則拒收。抽檢方案的確定，實際就是（n，c）的確定。采用“不放回”式隨機抽樣，樣本中不合格數為x（0≤x≤c）的概率服從超幾何分布，批接收概率［7］為：

依據設計原理和給定的參數，可通過解不等式組確定抽檢方案（n，c）：

當N 很大、而n相對較小（N≥10n）時，N 對OC函數的影響很小，即：可將“不放回”抽樣近似為“放回”抽樣，超幾何分布可用二項分布近似表示為：

抽檢方案可由公式確定：

代數方程組（2）和（4）均為非線性超越方程，其解n和c必須是非負整數。假若參數取值不合理，則方程組收斂性較差或不能收斂，使抽檢方案不合理。因此，需采用數學逼近法［2］、試算法［5］或用軟件仿真求解［9］。

1.2 計量一次抽樣檢驗方案

1.2.1 特點及原理

計量型抽樣檢驗是通過測量樣本的質量特性值并與判斷標準進行比較，進而推斷整批產品是否接受。其產品質量特性值能用連續尺度來度量，服從正態分布，它常以批中所有單位產品特性值的平均值μ表示批質量。根據產品質量的要求，有的要求μ越大越好，即質量特性有下規格限；有的要求μ越小越好，即質量特性有上規格限；有的規定了質量特性的雙側規格限。以下規格限情況為例進行討論。給定AQLμ0，RQLμ1（μ0＞μ1），α及β。抽檢方案需滿足：當產品質量較好時（μ≥μ0），以高概率（1－α）判為接收；當產品質量較差時（μ≤μ1），以低概率（β）判為接收。

1.2.2 計量型正態分布模型

設計此類抽檢方案，首先需確定參數μ0，μ1，α，β，其參數確定存在的問題與計數型類似。

假設產品質量特性值X服從正態分布N（μ，σ2），從被檢批中抽取一個容量為n的樣本檢驗，樣本質量特性值為X1，X2，…，Xn，其均值為X，則X ～N（μ，σ2／n），可定一個 K 值。當 X≥K時，接收該批產品；否則，拒收。則抽檢方案為（n，K）。根據正態分布的性質，σ已知，則批接收概率［7］為：

式中：Φ（·）為標準正態分布的分布函數。

根據計量抽樣檢驗設計原理，其抽檢方案必須滿足：

整理得：

式中：Φ－1（·）是標準正態分布函數Φ（·）的反函數，給定4個參數，由式（7）可得抽檢方案（n，K），其中n要選擇圓整后能使相對約束點誤差最小的整數。

2 等風險方法

等風險方法是通過確定供應方與使用方風險相等時的質量水平即等風險質量，和限制供應方或使用方的平均風險來設計抽檢方案，以得到公平可靠的方案。

2.1 計數型等風險方法

2.1.1 設計原理

供需雙方協商確定等風險質量p0.5，使批接收概率L（p0.5）＝0.5，即

可得不同接收數ci時的樣本量n0.5（ci）。由供應方風險r（p）＝1－L（p），可求得供應方平均風險為：

根據抽樣檢驗的寬嚴程度，給α0.5設定一個極限值γ，使α0.5≤γ，則能得到滿足要求的抽樣方案（n，c）。等風險方案的參數與OC曲線的關系如圖2所示。

圖2 計數型等風險抽樣方案的OC曲線Fig.2 The OC curve of equal－risk sampling plan by attributes

2.1.2 確定抽樣方案

等風險法抽檢方案可在Microsoft Excel（2010版）中通過相關函數運算求得，其求解步驟為：

1）給定p0.5和γ，求ni。依次取ci＝i和對應的任意樣本量ni（i＝0，1，…，10），由函數 HYPGEOM.DIST求出相應L（p0.5）；根據“規劃求解”，使（L（p0.5）－0.5）2最小，得滿足式（8）的ni；再由取整函數INT（ni＋0.5）對ni取整得n0.5（ci）。

2）求α0.5。把（n0.5（ci），ci）代入式（9），采用梯形法求定積分，令圖2陰影部分曲邊梯形面積為S，把區間［0，p0.5］分為k個小區間，每區間寬為p0.5／k，每個小曲邊梯形面積近似為：Si≈（i ＝ 1，2，Si。k的取值，可根據α0.5精度要求選取，如：k＝1 000，步長為p0.5／1 000，α0.5的精度在0.001以上。

3）根據α0.5≤γ，求抽檢方案。部分p0.5的抽檢方案和平均風險見表1。由表1可知，如果批量N＝3 000，給定參數p0.5＝0.03，γ＝0.15，知α0.5＝0.143 4，c＝4，n0.5（c）＝155滿足要求，即抽檢方案為（155，4）。

表1 以p0.5、n和c為函數的平均風險（N ＝3 000）Table 1 Mean risks as functions of p0.5，nand c（N ＝3 000）

實例1某電子儀器廠與協作的電容器廠商定，當電容器廠提供產品的不合格品率不超過3%時，以高于95%的概率接收；當不合格品率超過12%時，將以低于10%的概率接收［8］。假定產品批量N＝1 000，試制定抽檢方案。

傳統方法：依題意，應用超幾何分布模型，把給定參數代入方程式（2），在Excel中試算得抽檢方案（66，4）。又由于1 000＞10×66，則誤差可忽略，由二項分布模型，把參數代入方程式（4），試算得最優抽檢方案（66，4）。該方案雙方實際風險為α＝0.042，β＝0.083，可知其OC曲線沒有精確通過所約束的兩點。

等風險方法：由雙方協商確定p0.5。如果傳統參數合理，可由方案（66，4）得L（7%）＝0.5，則定p0.5＝7%。不同寬嚴程度（不同α0.5）時的抽檢方案見表2。當平均風險α0.5＝0.139時，所求結果和傳統法一致，說明等風險法合理。供需雙方在確定α0.5時，可根據表2中α和β的大小選取。如果β需在0.04～0.12的范圍時，α0.5可取0.12～0.16的值。

表2 等風險法抽檢方案Table 2 Sampling inspection plan of equal－risk method

2.2 計量型等風險法

2.2.1 設計原理

供應方和使用方共同協商確定等風險質量μ0.5，使其滿足L（μ0.5）＝0.5，即：

由式（10）得 K＝μ0.5，則對于抽檢方案（n，K），只需求樣本量n。

對于任意（n，μ0.5），根據 OC函數，可求供應方或使用方的平均風險α0.5，然后，由抽檢的寬嚴程度對α0.5設一個約束γ，使α0.5＝γ來求抽檢方案。由于不同產品批μ值的差異較大，為了保證α0.5的精度，只求區間［μ0.5，μ0.5＋σ］的平均風險α0.5，如圖3所示。

圖3 計量型等風險方案的OC曲線Fig.3 The OC curve of equal－risk sampling plan by variables

2.2.2 確定抽樣方案

等風險計量抽樣檢驗方案的設計在Excel中具體操作步驟為：

1）雙方協商確定μ0.5和γ，選擇大體符合要求的樣本量n′。

2）根據式（12），由梯形法求（n′，μ0.5）的平均風險α0.5。

3）優化n′。在“規劃求解”中設立目標值α0.5＝γ，變量為n′，可得樣本量n。

案例2有一批產品做壽命試驗，假設產品壽命X 服從N（μ，σ2）。已知壽命標準差σ＝20h，供需雙方協定μ0＝1 020h，μ1＝1 000h，α＝0.05，β＝0.1，試確定抽檢方案［10］。

傳統方法：根據題意把給定參數代入式（7），得n≈8.56，K≈1 008.8，對n取整，得抽檢方案（9，1 008.8），則質量為μ0和μ1的實際風險α＝0.047，β＝0.093，可知其OC曲線實際沒有精確通過所約束的兩點。

等風險法：經雙方協商，要求產品的平均壽命為1 010h，即μ0.5＝1 010h，不同寬嚴程度（平均風險）時抽檢方案的參數見表3。且當α0.5＝0.133時，抽檢方案（9，1 010）與傳統法最接近，此時質量為μ0和μ1的實際風險α＝β＝0.067。供需雙方在確定α0.5時，可選擇α和β在0.04～0.1的范圍的α0.5，即α0.5可取0.12～0.15，見表3。

表3 等風險法抽檢方案Table 3 Sampling inspection plan of equal－risk approach

3 聯系與區別

傳統方法是通過事先確定兩個點的風險作為約束條件求抽檢方案，但由于n，c必須為非負整數，因此，OC曲線實際不會精確通過那兩點；而平均風險法則通過控制區間平均風險，它避免了定義兩個點，而且一方平均風險定出后，另一方也相應確定，能保證方案公平可靠，過程更簡單。

由傳統方法給定的4個參數可得抽檢方案，而每個抽檢方案都有其相應的OC曲線，則可求得等風險質量和平均風險。而由等風險法參數求得抽檢方案后不能直接得到4個參數，只有給定α、β或AQL、RQL作為標準求其他兩個參數。用兩種方法對同一待檢批求得的兩個抽檢方案，在相同AQL和RQL下，如果傳統方案和等風險方案風險分別為α、β和α′、β′，由風險變化可知傳統方案的利益偏向：當α＝α′、β＝β′表明利益一致；當α＜α′、β＞β′偏向供應方；當α＞α′、β＜β′偏向使用方。如例2，傳統方案（9，1 008.8）和等風險方案（9，1 010）的風險0.047＜0.067，0.093＞0.067，可知傳統方案偏向供應方。

4 結論

運用等風險方法設計了服從超幾何分布模型的一次計數型和服從正態分布模型的一次計量型抽檢方案。該方法是基于供應方和使用方風險相等時的質量水平和供應方的平均風險兩個參數來設計抽樣方案，它較傳統方法減少了參數設定的個數，簡化了參數設定過程；避免定義OC曲線本來就很難經過的兩點，改進了傳統方法中參數確定存在主觀性而導致的不公平性和雙方矛盾，使抽檢方案更可靠。等風險法是一種新型抽檢方案設計方法，期待能為供需雙方更好的實現雙贏。

（

）：

［1］ Hald A.On the theory of single sampling inspection by attributes based on two quality levels［J］.Review International Statistics Institute，1967，35：1－29.

［2］ Stephens L J.A closed form solution for single sample acceptance sampling plans［J］.Journal of Quality Technology，1978，10（4）：159－63.

［3］ Duarte B P M，Saraiva P M.An optimization－based approach for designing attribute acceptance sampling plans［J］.International Journal of Quality and Reliability Management，2008，25（8）：824－841.

［4］ Tong X，Wang Z.Fuzzy acceptance sampling plans for inspection of geospatial data with ambiguity in quality characteristics［J］.Computers ＆ Geosciences，2012，48：256－266.

［5］ Jiang R.Equal－risk acceptance sampling plan［J］.Applied Mechanics and Materials，2013（401－403）：2234－2237.

［6］ 董維先.接收質量限（AQL）的含義及其確定方法［J］.中國質量，2004（7）：78－81.（DONG Wei－xian.The meaning and determination approach of acceptable quality level（AQL）［J］.China Quality，2004（7）：78－81.（in Chinese））

［7］ 楊軍，丁文興，馬小兵，等.統計質量控制［M］.北京：中國標準出版社，2012.（YANG Jun，DING Wenxing，MA Xiao－bing，et al.Statistical quality control［M］.Beijing：Standards Press of China，2012.（in Chinese））

［8］ 王維新，曾珍，史燕萍，等.人造板抽樣檢驗基礎知識解析之三［J］.中國人造板，2007，14（6）：17－20.（WANG Wei－xin，ZENG Zhen，SHI Yan－ping，et al.Principles of sampling and testing for wood－based panels（3）［J］.China Wood－based Panels，2007，14（6）：17－20.（in Chinese））

［9］ 王三寶，易秀英.基于OC函數的抽檢方案及其風險控制［J］.統計與決策，2010，24：23－25.（WANG Sanbao，YI Xiu－ying.Sampling plan and its risks control based on operating characteristic function［J］.Statistics and Decision，2010，24：23－25.（in Chinese））

［10］ 張宇，莊常陵.計量抽樣檢驗方案的設計方法［J］.汽車科技，2002（1）：42－44.（ZHANG Yu，ZHUANG Chang－ling.On the way to design sampling inspection by variable［J］.Automobile Science and Technology，2002（1）：42－44.（in Chinese））