大學數學中的數學實驗教學

吳曉

[摘 要]數學實驗引導學生將實際問題轉化為數學模型與實踐，再運用現代的計算機技術和數學專業軟件來進行數學推演和數值計算，以求出實驗結果。做好高校數學實驗教學工作應增強師資力量，提升數學實驗課程的教學質量；加強數學實驗課的教學，改變教學模式，做到理論與實踐相結合；在數學實驗教學過程中，應注重教師的主導作用；組織與數學實驗相關的交流會；開設相關數學實驗課程的公選課，建立相關學生協會或社團，讓更多學生參與數學實驗；提倡分塊教學。通過開展數學實驗教學，相關教師的應用教學能力得到了充分的鍛煉和展示，學生的應用數學能力和綜合素質也能得到很大提升.

[關鍵詞]數學實驗 數學軟件 實踐教學

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）05-0116-02

數學實驗是以數學理論知識作為原理，以軟件編程、圖形演示和數值計算等為實驗內容，以實際生活問題和數學教材為實驗對象，以計算機作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結推廣為主要實驗方法，并以實驗報告為最終體現形式的實踐活動。 數學實驗的主要任務就是引導學生將實際問題轉化為數學模型與實踐，再運用現代的計算機技術和數學專業軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來進行數學推演和數值計算，以求出實驗結果。

一、國內外數學實驗教學的來源

20世紀80年代中期，美國開展了大范圍的微積分教學改革，包括：（1）實行因材施教，選擇適當的教學內容以滿足不同層次學生的需要。（2）引入計算機和數學專業軟件作為教學工具。 培養學生對計算機技術和Matlab，Maple等數學專業軟件的應用能力，并要求其掌握數值計算、圖形繪制、編程推演等基本技能。（3）建立相應的數學實驗室與工作站。例如，建立專門用于數學實驗的機房，并在計算機上安裝Maple軟件包；建立分布在實驗室、圖書館及師生宿舍等地方的工作站等等。 隨后，前蘇聯也開設了相關的數學實驗課程。 其特點是： （1）把一些計算機技術課程列為數學專業的必修基礎課程，要求數學專業學生必修《計算機軟件系統》、《程序設計與算法語言》等；（2）將計算機與軟件技術教學與數學理論教學基本分離，但并不減少對數學理論自身教學的重視；（3）要求在實驗室完成課堂作業，增強學生的動手實踐能力，提高學生在規定時間內解決問題的能力。

在國內，1997年，國防科技大學開始了數學實驗的教學，建立以Sass和Mathematica等數學軟件為主的數學實驗平臺，同時建立了該校的數學實驗室，并開始嘗試網絡教學。 1998年，北京大學、清華大學、北京師范大學三校聯合開設了兩期數學實驗課程。 此后，姜啟源教授為清華大學各專業開設了數學實驗課程的選修課，主要學習Matab數學軟件。 同年，李尚志等也開始進行了數學實驗的教改試驗，在中國科技大學開設了數學實驗教學的選修課。 2000年，同濟大學將高等數學與數學實驗課程相結合，在土木工程專業進行試點教學，并建立了微積分數學實驗室，利用相關數學軟件，對實驗的相關內容進行實踐操作和推斷演示。 此外，沈繼紅和施久玉[1]、劉來福和曾文藝[2]、蕭樹鐵[3]、姜啟源[4]等都為數學實驗教學做過深入的研究。

二、數學實驗的內容與教學方法

數學實驗課程的內容可包括工業、農業、經濟、技術、軍事等的各種實際問題，也可以是數學本身的一些基礎性問題，介紹如何通過建模將實際問題轉化為數學問題，并通過數學軟件和計算機技術，使學生掌握用數值模擬的方法解決實際問題。 按其實驗內容和性質，常可分為以下六個層次的實驗： （1）基礎性數學實驗。 此類實驗的目的是要求學生掌握一些常用數學軟件包的基本命令，熟悉相關軟件的圖形繪制與數值計算等的基本技能。 （2）驗證性數學實驗。 要求學生通過對數學實驗現象的觀測，驗證數學中的基本理論和經典的數學方法，以增強其對數學概念的認識，并揭示數學知識的內涵。 （3）研究性數學實驗。 要求學生根據教師提出的實驗課題設計相應的實驗方案，運用數學理論相關知識和數學技巧，尋求解決實際問題的途徑，得出研究性結論。 （4）應用性數學實驗。 要求學生結合實際生活問題，如太陽能房屋的造型設計、股市行情走勢分析、基金投資分配等，建立相關數學模型，并運用數學軟件進行數值計算，從而指導實際問題。 （5）拓展性數學實驗。 要求學生學會揭示數學理論之間的聯系并從中拓展發現新的知識，或拓展到其他相關領域（如運籌與優化、數值方法計算、分形與混沌等科學領域）。 （6）綜合性數學實驗。 其實驗目的是要求學生綜合掌握前五種數學實驗，培養學生綜合運用所學知識的能力。

數學實驗的教學方法主要是采用典型實例實驗與模塊實驗相結合的方法。 在基礎性數學實驗中，可以設計矩陣計算、圖形繪制、方程組的求解等模塊實驗，使學生較好地掌握基本技能和基本原理；在驗證性和研究性數學實驗中，可設計插值與擬合、微分方程的符號解、特征值與特征向量、回歸分析等模塊，使學生能初步解決一些簡單問題且評估其誤差，并結合具體實例，用以解決實際問題；在應用和拓展性實驗中，可通過分析經典應用案例（例如：航空公司售票問題、街道監控攝像頭的安裝、碎紙片的復原拼接等等），建立數學模型和分析求解，使得其結果能指導實際生活。具體數學實驗實踐教學過程可分以下幾步來完成：（1）分析所研究問題的具體背景。（2）給出實驗的目的和任務，并提供相關的建模和數值計算的可行方法。 具體包括條件的化簡、主要因素的分離和變量的選擇，以及建立變量之間關系的數學方法、模型的求解和實現計算的程序指令等。（3）提出具有探索性的問題，并將學生分組進行討論和建立模型。 （4）引導學生用數學軟件編程和上機操作來求解模型，并寫出實驗報告。 通過分析、建模、求解、改進推廣以及書寫實驗報告這一整個過程，可以教會學生在堅持探索和發現的原則下，學習主動參與數學實踐的本領。

三、對數學實驗教學的幾點建議

1.增強師資力量，提升數學實驗課程的教學質量。 重點培養或引進具有較高專業水平的相關數學軟件方面的教師和擅長應用與統計方面的數學教師，以盡快提高師資水平，提升數學應用及軟件應用方面的實踐能力。 此外，由于數學實驗思維量大，且數學軟件更新極快，很可能出現一些教師不能解決的問題。 因而，教師之間要互相交流，勤于溝通，廣泛閱讀相關軟件書籍，保持與時俱進。

2.加強數學實驗課的教學，改變教學模式，做到理論與實踐相結合。數學實驗室的建立，為學生的實踐教學的開展提供了良好的學習環境。數學實驗課程的教學方式改變了傳統數學的教學模式，其不再只是在黑板上“指點江山”，更多的是在實驗室和機房里通過上機操作完成教學，還安排學生外出考察，使他們了解所研究問題的真實背景與事實依據，以獲得更加切實有效的實驗數據，并通過建模分析與求解，最終得出符合實際問題的實驗結果。

3.在數學實驗教學過程中，注重教師的主導作用。 數學實驗采取有計劃、有控制、有目的的開放式教學，是充分調動學生主觀能動性和激發學生興趣與積極性的有效教學方法。 在其教學過程中，以學生自己動手實踐操作為主，因而學生起著主體作用。 然而，開放教學不是閑散自由、任其自然，教師在整個教學過程中仍起主導作用，他們是組織與指導者，還是學生實驗活動的監督者。教師應根據不同實驗，合理有效地引導學生開展實驗，并在學生實驗過程中不斷給予適當的建議，使學生在教師的主導下，順利完成其實驗內容。

4.組織與數學實驗相關的交流會。 數學實驗是一門新興課程，很多學生對其了解并不多。 因而，為了更好地開展數學實驗教學，我們可以組織相關指導教師在全校師生中開展數學實驗課程的相關交流，分析社會熱點問題或學生關心的實際問題，使他們積極參與報告會的交流與討論。 此外，教師應引導和鼓勵學生參加數學實驗競賽活動（如：全國大學生數學建模競賽、統計建模競賽、美國大學生數學建模競賽等等），激發其參與數學實驗活動的興趣。

5.開設相關數學實驗課程的公選課，建立相關學生協會或社團，讓更多學生參與數學實驗。 公選課的授課對象大多是非數學專業的學生，因而教學內容要貼近生活，解決與現實生活緊密相關的實際問題。 建立相關學生社團（如，建立“數學建模協會”等），并安排指導教師不定期對社團學生進行講解與輔導，能最大限度地吸引更多的學生參與數學建模和數學實驗之中。

6.提倡分塊教學。 數學實驗的相關課程應由幾位相關專業的專任教師共同執教，每位教師負責其精通的某一個數學軟件或者是某個模塊的實驗教學，從而能更好地為教學服務。

通過開展數學實驗教學，相關教師的應用教學能力得到了充分的鍛煉和展示，學生的應用數學能力和綜合素質也能得到很大的提升。數學實驗教學不僅為今后數學教育的改革奠定了深厚基礎，也為數學教育者設立了進一步實踐與探索的方向。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 沈繼紅，施久玉，等.數學建模[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，1998.

[2] 劉來福，曾文藝.問題解決的數學模型方法[M].北京：北京師范大學出版社，1999.

[3] 蕭樹鐵.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4] 姜啟源.大學數學實驗[M].北京：清華大學出版社，2006.

[責任編輯：鐘 嵐]