幾何畫板在橢圓和雙曲線的性質對比中的應用

☆李 田

（陜西師范大學，陜西西安 710000）

幾何畫板在橢圓和雙曲線的性質對比中的應用

☆李 田

（陜西師范大學，陜西西安 710000）

幾何畫板是一款適用于數學教學和學習的工具，它能夠動態地展現出函數、圖像的形成過程，所以利用幾何畫板解決數學問題變成了數學教學研究中的熱點，也體現了新的課程改革對新型教學的要求：將信息技術與課程進行整合。對重在通過幾何畫板從圓錐曲線（只涉及橢圓和雙曲線）的定義、標準方程、幾何性質、參數方程等幾個方面進行對比，引導學生在動態學習中探究進而了解圓錐曲線。

幾何畫板；橢圓；雙曲線

一、前言

縱觀歷年高考試題，圓錐曲線這部分內容一直占據著不小的比重，它成了考生重點復習掌握的知識點，但是，由于圓錐曲線的復雜性和抽象性，學生在學習這一節內容時還是比較吃力。雖然新課改之后，大綱對學生的很多要求（比如：曲線的定義、性質、參數方程等）都由掌握變為了了解，學生對此仍然顯得力不從心。傳統教學中，教師在講授圓錐曲線時，對于曲線的各個定義、性質、圖形等知識的講解都是通過在黑板上畫圖來完成的，然而，這種方法做出來的靜止圖形不能讓學生真實地體會到圖形形成的過程，以致一些學生通過死記硬背來記憶這些公式。怎樣讓學生通過自己動手操作來觀看圖形的形成過程，幫助他們更容易獲得對圓錐曲線的感知，成了教師和學生都非常關心的一個問題。新的課程改革強調信息技術與課程整合，利用幾何畫板教學軟件解決數學問題正體現了這一思想。以下筆者通過幾何畫板從圓錐曲線（本文只涉及橢圓和雙曲線）的定義、標準方程、幾何性質、參數方程等幾個方面進行對比，引導學生在動態學習中探究進而輕松地了解圓錐曲線。

二、幾何畫板基本功能簡介

“幾何畫板”是一個適用于幾何教學的軟件，它給我們提供了一個幾何圖形的內在關系，探索幾何圖形奧妙的環境。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，構造出其它較為復雜的圖形。與傳統的教學輔助工具相比，幾何畫板的動態性、形象性、操作簡單的特性讓它成為現代數學教學中不可缺少的工具,學生可以通過在幾何畫板創造性的實際操作環境下任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于學生理解和證明，這有助于學生主體性、積極性和創造性的發揮，用幾何畫板來解決數學問題體現了新課改中“信息技術與課程整合”的思想。下面簡單介紹一下幾何畫板中作圖要用到的幾個功能。

首先，啟動幾何畫板主程序，打開它的主界面（如圖1）。

圖1 幾何畫板主界面

從圖1可以看出，幾何畫板的主界面和其它的一些工具軟件是相似的，畫板工具從上到下依次是移動箭頭工具、點工具、圓工具、線段直尺工具、多邊形工具、文字工具、標簽工具、信息工具和自定義工具。本文主要介紹菜單欄中的幾個功能：編輯菜單中的操作類按鈕功能、顯示菜單中的追蹤點和生成點的動畫功能、構造菜單中的軌跡功能、數據菜單中的新建參數和新建函數功能、繪圖菜單中的繪制新函數和繪制參數曲線功能，以及怎樣在文本框中插入各種數學符號。

（一）編輯>>操作類按鈕

1.隱藏//顯示功能

這個功能可以使所選中的對象隱藏或者顯示，一般對于不想讓其影響我們看圖或者要對其進行對比的對象，可以使用這個功能。

舉例：點的隱藏或者顯示。

步驟一：選擇點工具，在作圖區域單擊鼠標作點，選擇標記工具，單擊點標記點A。

步驟二：選擇移動前頭工具，選中點A，通過“編輯>操作類按鈕>隱藏/顯示”功能作出按鈕。

步驟三：點擊按鈕，點A隱藏，再次點擊按鈕，點A顯示。

2.動畫功能

動畫功能可以使選中的對象按照一定的軌跡運動，使操作者可以看到圖像的動態變化過程。

舉例：圓上一點的運動。

步驟一：選擇圓工具，在作圖區域單擊鼠標然后拖動作圓，選中圓，通過“構造>圓上的點”功能作圓上的一點，標記為點B。

步驟二：選中點B并選擇“編輯>操作類按鈕>動畫”，打開動畫點對話框，根據需要選擇運動方向和運動速度，點擊確定，作出動畫按鈕。

步驟三：點擊動畫按鈕，點B圍繞圓作逆時針的中速運動，再次點擊按鈕，點B停止運動。

（二）顯示菜單功能

1.追蹤功能

這一功能可以使選擇的對象留下運動的痕跡，方便操作者觀察。

2.生成動畫功能

這個功能和操作類按鈕中的動畫功能相似，要運動的對象所遵循的軌跡是默認的，一般是它的父對象，而且速度等的控制可以在控制臺上進行。

3.擦除追蹤痕跡功能

此功能可以擦除追蹤對象留下的痕跡，方便操作者觀察其它對象的運動痕跡或者再次進行本次操作。

（三）構造菜單

1.以圓心和半徑作圓功能

根據選中的點和線段可以作出圓。

2.軌跡功能

這個功能與顯示菜單的追蹤功能相似，只不過追蹤功能可以讓操作者觀察到對象運動的過程，而軌跡功能只顯示最終結果。

（四）數據菜單

1.新建參數功能

幾何畫板中默認的參數只有x，如果需要其它的參數，可以通過這個功能建立。

2.新建函數功能

可以建立需要的函數，同時也可以在這里新建參數。

（五）繪圖菜單

1.定義坐標系功能

當需要標出明確的坐標時，可以使用這個功能。

2.繪制新函數功能

當給出了函數方程，要求作出它的圖像時可以使用這個功能。

（六）插入各種數學符號

在幾何畫板界面的最底端，有一排設置字體、字號的菜單欄，插入數學符號的步驟如下。

步驟一：選中文字工具，在工作區域用鼠標拖出一個矩形文本框，這時會看到最底端多出一排數學符號。

步驟二：直接點擊需要的數學符號，就可以將其添加到文本框中，如果需要希臘符號，點擊最右邊的下拉箭頭即可選擇。

三、利用幾何畫板對橢圓和雙曲線進行對比

（一）從定義上進行對比

1.第一定義

橢圓定義：平面內到兩定點F1，F2的距離之和為定值2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡。

制作步驟：

步驟一：用點工具在工作區域作點，標記為點O，用線工具作線段，添加說明“r=2a”。

步驟二：通過“構造>以圓心和半徑作圓”，作以點O為圓心，r=2a為半徑的圓，然后選中圓O，通過“構造>圓上的點”在圓上任取一點P，在圓內任取點A。

步驟三：連接PA，PO，通過構造菜單中的功能作PA中垂線，與PO交于點M，連接MA。

步驟四：通過菜單“顯示>追蹤”將點M定義為“追蹤點”，選中點P，通過菜單“編輯>操作>動畫”作關于點P的動畫按鈕（如圖2）。

步驟四：點擊動畫按鈕，讓點P在圓上任意轉動可得M的軌跡為以點O，A為焦點，以2a為長軸長的橢圓，如圖3中紅色軌跡。

圖2 作關于點P的動畫

圖3 點M的軌跡

理由：圖中|MP|=|MA|，所以|OM|+|MA|=|OM|+ |MP|=|OP|=r。

雙曲線定義：平面內到兩定點F1，F2的距離之差為定值2a（2a＜|F1F2|）的點的軌跡。

制作步驟：

步驟一：以點O為圓心，r=2a為半徑做圓，在圓上任取一點P，在圓外任取點A。

步驟二：連接PA，PO，作PA中垂線，與直線PO交于點M，連接MA。

步驟三：將點M定義為“追蹤點”，選中點P，作關于點P的動畫按鈕（如圖4）。

步驟四：點擊動畫按鈕，讓點P在圓上任意轉動可得M的軌跡為以點O，A為焦點，以2a為長軸長的雙曲線，如圖5中紅色軌跡。

圖4 作關于點P的動畫

圖5 點M的軌跡

理由：由于|MP|=|MA|，所以|MA|-|MO|=|MP|-|MO|=|OP|=r。

通過對橢圓和雙曲線從第一定義的角度進行對比我們可以發現，點F1，F2是一定的，到這兩點的距離之和為定值的點的集合構成橢圓，而到這兩點的距離之差為定值的點的集合構成雙曲線。

2.第二定義

橢圓定義：設動點M（x,y）與定點F（c,0）的距離和它到定直線l∶x=的距離的比是常數（a>c>0）。則點M的軌跡是橢圓。點F是橢圓的一個焦點，直線l是橢圓中對應于焦點F的準線。常數e=（0＜e＜1）是橢圓的離心率。

制作步驟：

步驟一：取點F和直線l（點F不在l上），過點F作一條直線，在直線上取一點P。

步驟二：以F為圓心，以FP為半徑作圓，度量FP的長度，新建參數e=0.6（小于1即可），計算FP/e。

步驟三：過點P作直線l的垂線，交l為點M，以M為圓心，以FP/e為半徑作圓，交垂線于N，過N作l的平行線，交圓F于A、B兩點（如圖6）。

步驟四：定義A、B兩點為追蹤點，作關于點P的動畫按鈕。

步驟五：單擊動畫點按鈕，讓P在直線FP上任意移動，可得橢圓方程的軌跡，如圖7紅色軌跡。

圖6 作關于點P的動畫

圖7 點A、B的軌跡

理由：不管P在哪個位置，總可以保證A、B兩點到F點的距離與它們到直線l的距離之比為0.6。

雙曲線定義：設動點M（x,y）與定點F（c,0）的距離和它到定直線l∶x=的距離的比是常數（c>a>0）。則點M的軌跡是雙曲線。點F是雙曲線的一個焦點，直線l是雙曲線中對應于焦點F的準線。常數e=（e>1）是雙曲線的離心率。

制作步驟：

步驟一：取點F和直線l（點F不在l上），過點F作一條直線，在直線上取一點P。

步驟二：以F為圓心，以FP為半徑作圓，度量FP的長度，取參數e=1.8（大于1即可），計算FP/e。

步驟三：過點P作直線l的垂線，交l為點M，以M為圓心，以FP/e為半徑作圓，交垂線于N，過N作l的平行線，交圓F于A、B兩點（如圖8）。

步驟四：將A、B兩點定為追蹤點，選中點P，作關于點P的動畫按鈕（如圖8）。

步驟五：單擊動畫點按鈕，讓P在直線FP上任意移動，可得雙曲線方程的軌跡，如圖9紅色軌跡。

圖8 作關于點P的動畫

圖9 點A、B的軌跡

理由：不管P在哪個位置，總可以保證A、B兩點到F點的距離與它們到直線l的距離之比為1.8。

通過軌跡形成的動態過程我們可以看出，當一個點和一條直線確定時，到這點的距離和到這條直線的距離之比小于1時，點的集合構成橢圓，而當距離之比大于1時，點的集合構成雙曲線，當距離之比等于1時，點的集合構成圓。

（二）從標準方程上進行對比

橢圓的標準方程：

制作步驟：

步驟一：通過“繪圖>定義坐標系”作出直角坐標系。

步驟三：選中新建的兩個函數，通過“繪圖>繪制新函數”作出橢圓，然后用同樣的步驟作焦點F1和F2（如圖10）。

圖10 焦點在x軸上的橢圓圖形

圖11 焦點在y軸上橢圓圖形

從圖10和圖11可以看出，在橢圓方程中，當x軸對應長軸a，y軸對應短軸b時，焦點在x軸，相反焦點在y軸上，并且a>b，a2=b2+c2。

雙曲線的標準方程：

制作步驟：

步驟一：通過“繪圖>定義坐標系”作出直角坐標系。

步驟三：選中新建的兩個函數，通過“繪圖>繪制新函數”作出雙曲線，然后用同樣的步驟作焦點F1和F2（如圖12）。

圖12 焦點在x軸上的雙曲線圖形

圖13 焦點在y軸上的雙曲線圖形

從圖12和圖13可以看出，在雙曲線方程中（一邊式子一邊1），當x項前面的符號為正時，焦點在x軸上；當y項前面的符號為正時，焦點在y軸上。并且a>0,b>0,c2= a2+b2。

（三）從幾何性質上進行對比（以焦點在 xx軸上為例）

表1 性質對比

通過從圖形性質方面的簡單對比可以看出，橢圓位于一個以a為長，以b為寬的長方形內部，而雙曲線位于一個邊長分別為a、b的長方形外部；二者均關于坐標軸和原點對稱；橢圓有兩個實頂點，而雙曲線只有一個實頂點；通過對橢圓和雙曲線性質的各種參數進行改變，我們可以發現當橢圓離心率越大時，圖形越扁，離心率越小時，圖形越接近圓形；當雙曲線離心率越大時，圖形開口越大，離心率越小時，開口越小。

（四）從參數方程上進行對比

參數定義：在給定的平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標(x,y)都是某個變數t的函數x=f(t),y= θ(t)——(1)；且對于t的每一個允許值，由方程組(1)所確定的點m(x,y)都在這條曲線上，那么方程組(1)稱為這條曲線的參數方程，聯系x、y之間關系的變數稱為參變數，簡稱參數。

橢圓的參數方程：x=acosφ，y=bsinφ(φ∈zπ)，其中，a為長半軸長，b為短半軸長，φ為參數。

制作步驟：

步驟一：以坐標原點O為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓。

步驟二：在大圓上取一點A，連接OA與小圓交于點B。

步驟三：過點A作AN垂直于x軸，垂足為N;作BM垂直于AN，垂足為M。

步驟四：將點M定為追蹤點，選中點A，作關于點A的動畫按鈕（如圖14）。

步驟五：單擊動畫點按鈕，讓A在圓O上任意移動，可得橢圓方程的軌跡，如圖15中紅色部分。

圖14 作關于點A的動畫

圖15 點M的軌跡為一橢圓

理 由 ：|ON|=acosφ,|NM|=bsinφ，設 M(x,y)，則x2=a2cos2φ，y2=b2sin2φ

雙曲線的參數方程：x=asecθ,y=btanθ，a為實半軸長，b為虛半軸長，θ為參數。

制作步驟：

步驟一：以坐標原點O為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓。

步驟二：在大圓上取一點A，作過點O、A的直線，過點A作OA的垂線，交x軸于點D。

步驟三：小圓交x軸于點B，過點B作x軸的垂線，交OA于點C，過點C作x軸的平行線j。

步驟四：過點D作x軸垂線，交j于點E，選中點E，將點E定為追蹤點，選中點A，通過菜單“編輯>操作>動畫”作關于點A的動畫按鈕（如圖16）。

步驟五：單擊動畫點按鈕，讓A在圓O上任意移動，可得雙曲線方程的軌跡，如圖17中紅色部分。

圖16 作關于點A的動畫

圖17 點E的軌跡為一雙曲線

=asecφ,|ED|=btanφ

設E(x,y)，則x2=a2sec2φ,y2=b2tan2φ

通過從參數方程的角度動態地作出雙曲線，可以看出，我們是通過三角函數的關系來轉換各個參數從而得出方程的，而三角函數是我們比較熟悉的，這樣可以讓大家更容易地了解到圖形形成的過程。

四、小結

以上借助幾何畫板從定義、標準方程、幾何性質和參數方程四個方面動態地將橢圓和雙曲線進行對比，通過動態的變化過程，以及改變不同的參數數值所帶來的圖像效果的變化，增強了橢圓與雙曲線知識在學生頭腦中的可辨別性，以達到促使學生形成良好的橢圓與雙曲線的認知結構的目的。

[1]陶維林.幾何畫板實用范例教程[M].北京:清華大學出版社,2001.

[2]陶維林.用幾何畫板教平面解析幾何[M].北京:清華大學出版社, 2001.

[3]方其桂.幾何畫板多媒體CAI課件制作實例教程[M].北京:清華大學出版社,2002.

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[7]幾何畫板應用基礎.http://www.docin.com/p-187598.html.

[編輯：昌曙平]

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1671-7503(2014)05-0037-06