最值問題的解法舉例

陳建芳

摘 要：求最大值或最小值是歷年各地中考熱點(diǎn)之一，此類問題設(shè)計(jì)新穎，形式活潑，解法靈活多變，綜合性較強(qiáng)，有些實(shí)際問題還需要巧解，是考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用能力，用數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，建立合適的解決問題的數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的捷徑，從而把問題由難轉(zhuǎn)化為易，本文例舉了六種常見最值問題的解題策略。

關(guān)鍵詞：最大值；最小值；不等式；判別式；配方法；“式”和“形”；函數(shù)；優(yōu)化原則

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）06-386-01

求最大值或最小值是歷年各地中考熱點(diǎn)之一，此類問題設(shè)計(jì)新穎，形式活潑，解法靈活多變，綜合性較強(qiáng)，有些實(shí)際問題還需要巧解，是考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用能力，用數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，建立合適的解決問題的數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的捷徑，從而把問題由難轉(zhuǎn)化為易。這里談?wù)勛畲笾祷蜃钚≈祮栴}的解題策略。

一、利用不等式性質(zhì)求最值

例1，已知x≠0，當(dāng)x取何值時(shí)， 的值最小？最小值是多少？

因?yàn)閤的取值范圍是0

四、利用最優(yōu)化原則求最值

例6，某班13個(gè)同學(xué)參加每周一次的衛(wèi)生大掃除，按學(xué)校要求完成面積為80m2的三個(gè)項(xiàng)目的任務(wù)，三個(gè)項(xiàng)目的面積比例是：地面：玻璃：桌椅=11：4：5，每人每分鐘擦玻璃、擦桌椅、掃地的面積分別為 、 、 ，他們一起完成掃地任務(wù)后，把這13人分成兩組，一組擦玻璃、一組擦桌椅，如何分配這兩組人數(shù)，才能最快地完成任務(wù)？

分析：同學(xué)們完成第一項(xiàng)任務(wù)成，同時(shí)開始做第二、三項(xiàng)工作，由于分配方案不同，將會(huì)出現(xiàn)三種情形：（1）擦玻璃的先完成；（2）擦桌椅的先完成；（3）兩組同時(shí)完成。若運(yùn)用函數(shù)思想求解，則應(yīng)建立以其中一組人數(shù)為自變量，所用時(shí)間為函數(shù)關(guān)系式，但所用時(shí)間應(yīng)是兩組中用時(shí)最多的一組所用時(shí)間，顯然難以確定哪一組用時(shí)最多，所以運(yùn)用函數(shù)思想求解不合適，聯(lián)系生活實(shí)際，運(yùn)用最優(yōu)化原則分析：由于兩組同時(shí)工作，且各自的工作效率是固定的，所以，不管哪一組提前完成，都是分配不當(dāng)，只有在完成所有任務(wù)前每個(gè)人都在工作，才能確保速度最快，所以，安排人員時(shí)，只要保證兩組完成任務(wù)的時(shí)間相等即可。

條件求值問題是初中數(shù)學(xué)中有一定難度的題型，這就要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，在解題時(shí)要分析思考，選擇合適的解法，盡量用簡(jiǎn)便的方法快速地解答出問題。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 潘玉曉《關(guān)于函數(shù)最值問題的探討》《南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)》2005（9）

[4] 張?zhí)煨邸独弥匾坏仁角蠛瘮?shù)最值問題應(yīng)注意的幾個(gè)問題》《中學(xué)數(shù)學(xué)》，1996（8）