直線和拋物線的平移對稱

仇禮云

摘 要：初中數學的直線和拋物線的平移、對稱解析式求法是學生的一個難點。

關鍵詞：直線；拋物線；平移；對稱

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）06-334-01

初中數學的直線和拋物線的平移、對稱解析式求法是學生的一個難點。很多學生對于此類問題無從下手。如果在教學中掌握了平移和對稱的關鍵點，學生是會很容易學會求解這類問題的。在此就自己的教學心得和大家交流一下。

一、先來看平移

這里我們先來看直線的上下移動的情形。如：要求直線Y=3x向上平移5個單位的解析式。求平移解析式可以選出一個特殊點，求出這個點平移后的新坐標，平行的直線具備K值相等的特點，這樣可以重新設出一次函數解析式帶入平移后點的坐標求得解析式。但這樣的求法比較復雜，對于大多數學生有很大難度。我們不妨從本質上來看函數的移動問題：上下移動其實就是函數值的變化，即Y變化。數學教科書上有b值不為零的一次函數圖象是由K值與它相同的正比例函數圖象平移而得到的例子。這個可以通過畫圖的過程在列表環節讓學生理解同一個點是怎么移動的。所以我們要求直線Y=3x向上平移5個單位的解析式。很容易知道就是Y=3x+5.請思考把直線Y=3x-2向上平移5個單位的解析式又為什么呢？一樣的其實就是Y的變化。我們容易求出把直線Y=3x-2向上平移5個單位的解析式為Y=3x-2+5，即Y=3x+3。向下移動的情形又怎么樣呢？比如把直線Y=3x-2向下平移5個單位的解析式又為什么呢？一樣的其實就是Y的變化。我們容易求出把直線Y=3x-2向下平移5個單位的解析式為Y=3x-2-5，即Y=3x-7。

我們再來看拋物線的上下平移問題。例如：拋物線Y=3x +2x+1向下平移3個單位的解析式。一般來講，我們是根據拋物線頂點的坐標變化用頂點式來求。其實，要求相應的對于拋物線的上下平移也同樣就是函數值Y的變化。例如把拋物線Y=3x +2x+1向下平移3個單位的解析式為Y=3x +2x+1-3，即Y=3x +2x-2。拋物線Y=3x +2x+1向上平移3個單位的解析式為Y=3x +2x+1+3，即Y=3x +2x+4。

總結起來就是這樣一句話：對于直線和拋物線的上下平移就是函數值Y的變化，遵循上加下減的原則。這一點學生很容易理解和接受。

再看直線和拋物線的左右平移應該怎么樣進行呢？這是我們教學中的一個很難的點。沒有好的辦法學生很難求出平移后函數的解析式。先看直線左右移動的情形：求把直線Y=3x-2向左平移5個單位的解析式。一般的解法就是平移圖形中K值相同，再確定一個原函數中比較特殊的一個點，把它平移后的坐標帶入解析式來求。這種做法學生能很好理解，但實際操作中很難掌握。學生無法很好的找到合適的點，平移后的坐標也不好確定，還要再帶入求解，大多數學生無法完成。實際上，我們仔細想想，左右平移其實就是橫坐標的變化，也就是變量中X的變化，函數圖像往左移動就是平移前后兩個函數值相等時對應的自變量X會變小。我們在保證函數值Y不變的情況下，左平移函數圖像后的自變量X變小，當這時的自變量X加上平移的數量時該點就和原解析式的點的函數值對應相等。具體來看就是直線Y=3x-2向左平移5個單位的解析式應該為Y=3（x+5）-2，即Y=3x+13.這種方法能很好的解決直線左右平移的問題。對應填空選擇題非常有效。學生也非常易于掌握。再求把直線Y=3x-2向左平移5個單位的解析式。函數圖像往右移動就是平移前后兩個函數值相等時對應的自變量X會變大。我們在保證函數值Y不變的情況下，右平移函數圖像后的自變量X變大，當這時的自變量X減去平移的數量時該點就和原解析式的點的函數值對應相等，即此時兩點重合。具體來看就是直線Y=3x-2向右平移5個單位的解析式應該為Y=3（x-5）-2，即Y=3x-17。

這種求法對應拋物線左右平移更加簡單和有效。例如把拋物線Y=3x +2x+1向右平移3個單位的解析式求法，一是可以用常規方法求出拋物線頂點的變化再用頂點式求出解析式。這個理解起來很簡單但操作起來很復雜。實際上我們可以仿照直線的平移直接求出拋物線解析式為Y=3（x-3） +2（x-3）-2。

左右平移就是x的變化，遵循左加右減的原則。這一結果也可以通過平移頂點的方法加以驗證。對于直線或者拋物線既上或下移又左或右移的拋物線解析式求法我們可以把前面的移動方式同時進行。例如把拋物線Y=3x +2x+1向下平移5個單位再向右平移3個單位的解析式為Y=3（x-3） +2（x-3）-2-5.這個結果的正確性也能用常規的頂點平移法來驗證。

二、現在來看看對稱的問題

直線拋物線關于坐標軸對稱的問題比較簡單。先來看直線的對稱。我們知道，點關于Y軸對稱時就是橫坐標即x變為相反數，因此直線關于Y軸對稱其實就是把其中的x變為相反數就可以了。如直線Y=3x-2關于Y軸對稱的解析式為Y=3（-x）-2，即Y=-3x-2。類似地，點關于x軸對稱時就是縱坐標即Y變為相反數。所以直線Y=3x-2關于X軸對稱的解析式為-Y=3x-2，即Y=-3x+2（就是Y變為原來的相反數）。拋物線關于坐標軸對稱的解析式求法和直線類似。例如求拋物線Y=3x +2x+1關于Y軸對稱的解析式就是橫坐標即x變為相反數，因此拋物線Y=3x +2x+1關于Y軸對稱的解析式就是Y=3（-x） +2（-x）+1。另外，要求拋物線Y=3x +2x+1關于x軸對稱的解析式為就是把Y變為相反數就可以了。所以它的關于x軸對稱的解析式就是-Y=3x +2x+1，即Y=-3x -2x-1。以上結果都可以用常規方法加以驗證。

參考文獻：

[1] 郭友.教師教學技能[M].上海：華東師范大學出版社，1993.

[2] 徐斌艷.數學教育展望[M].上海：華東師范大學出版社，2001.