卡爾曼濾波在陽山金礦控制測量中的應用

葉 培

（武警黃金第十二支隊，成都 610036）

武警黃金十二支隊對甘肅文縣陽山金礦帶進行了大面積GPS控制測量，由于陽山地區地形、氣候復雜，切割和高差較大，如果利用傳統方法不能保證在有效星歷的情況下采用最優信號源，星歷殘差也較為復雜，特別是信號波源不能穩定在一個有效的區間內。因此，利用卡爾曼濾波數學模型對控制測量中的GPS信號、星歷和殘差進行優化，從而在同一時、間同一地點、同一天氣的情況下盡量提高GPS精度。

1 卡爾曼濾波

1960年，卡爾曼發表了用遞歸方法解決離散數據線性濾波問題的論文。在這篇文章里，一種克服了維納濾波缺點的新方法被提出來，這就是我們今天稱之為卡爾曼濾波的方法。卡爾曼濾波應用廣泛且功能強大，它可以估計信號的過去和當前狀態，甚至能估計將來的狀態，即使并不知道模型的確切性質[1]。

1.1 濾波器的計算模型

從建立的系統數學模型出發，可以導出卡爾曼濾波的計算原型，包括：時間更新方程和測量更新方程。為了便于描述，做以下說明：⑴X Rnk? ，第K步之前的狀態已知的情況下第K步的先驗狀態估計值；⑵ Xk?Rn，測量Zk已知情況下第K步的后驗狀態估計值。由此定義先驗估計誤差和后驗估計誤差：

先驗估計誤差的協方差矩陣為：

后驗估計誤差的協方差矩陣為：

先驗代表的是對過去波形的描述，后驗是對未來波形的預測，而測量的過程中，信號總是有殘差的存在的，殘差采取迭代的數學方法進行轉換，將Pk對K進行求導，使一階導數為零，我們可以得到殘差的數學形式[2]：

1.2 濾波器模型的建立

卡爾曼濾波器包括兩個主要過程：預估與校正。預計過程主要是利用時間更新方程建立對當前狀態變量和誤差協方差估計的值，以便在下一個時間狀態構造先驗估計值；校正過程負責反饋，利用測量更新方程在預測過程的先驗估計值及當前測量變量的基礎上建立起對當前狀態的改進的后驗估計。這樣一個過程，我們稱之為預估-校正過程，對應的方法我們可以稱為預估-校正法。

時間更新方程：

狀態更新方程：

2 陽山金礦控制測量卡爾曼濾波模型的建立

2012年中國黃金公司要求對陽山金礦帶安壩礦段七個控制點進行復測，得到數據要求與2001年所測數據誤差必須在規范以內。當時的困難很多，首先時間緊，沒有充分的時間進行星歷預測，并且施工期間，雨水多，云層厚，天氣情況極為惡劣，最關鍵的問題，兩次測量相隔時間近11年，誤差除08年地震造成測量標志移動因素外，還有不同時間段的氣候、信號和電離層都有可能對數據造成影響，為了取得最優的信號，盡量避開信號干擾，我們決定采用卡爾曼濾波數學模型，對GPS信號、星歷和殘差進行優化，從而滿足工程需要。

2.1 系統狀態方程的建立

首先考慮局部卡爾曼濾波器1，這種標準的濾波器模型為：

再考慮局部卡爾曼濾波器2，這種標準的濾波器模型為：

2.2 選用卡爾曼濾波器算法

在上述方程的建立中，考慮到機動速度均值和方差的自適應算法，分別對應于GPS定位系統（3-1）和（3-2）兩個模型。在聯合卡爾曼濾波器中，對應于各局部濾波器和主濾波器的信息分配系數β1、β2、…βm的取值決定了聯合卡爾曼濾波器的信息分配系數的性能。就前面所設計的GPS組合導航系統的聯合卡爾曼濾波器的性能，因此可通過選擇不同的信息分配系數來改變濾波器的性能，以滿足不同的需要。根據信息分配原理，有：

此次工作的性質決定了，我們面對的是一種極端情況，即令β1為0，β2為1，對濾波器1有：因為β1為0，故經推導可知，此時模型1輸出的狀態估計值對整體狀態的影響最小。在實際算法中，不可能出現β1為0，β2為1，否則將會出現發散，但可根據需要取β1或β2為盡可能最小的值。經過大量的計算和平差，我們可以發現β1和β2都為0.5時，聯合卡爾曼濾波器輸出的值最佳。若β1＞0.5、β2＜0.5，則濾波器的整體輸出性能上以局部濾波器模型1為主，且β1越接近于1，而β2越接近于0，濾波器的整體輸出中模型1所占的比例會越大，即整個濾波器性能上越接近于模型1，這也是我們在實地計算中所希望的。

若能根據具體情況自動調整β1和β2的大小，這時聯合卡爾曼濾波器便成為一種自適應聯合卡爾曼濾波器。利用 GPS接收機輸出的反映定位精度的參數為依據，自動調整β1和β2的大小。本文使用的是天寶4600LS接收機，其定位精度完全有p反應（包括衛星測量誤差），可根據p大小，來決定β1和β2的取值。β1和β2的自適應算法為[3]：

3 結果分析、演算和比較

當選用了適當的數學模型、狀態和濾波器后，我們來看看在實際工作中各個過程的分析、演算和比較。整個平差過程采用天寶公司的軟件TBC1.0進行計算。我們可以先來看看如果沒有選用卡爾曼濾波，衛星殘差和衛星星歷的穩定情況（圖1）。

從圖1可以看到，2012年5月7日平差軟件自動采取了星歷最優的10顆衛星，其中可以看到G3、G19、G20、G32的衛星星歷信號非常不穩定，殘差較大，基本不能使用，信號較好的只有 G13、G16、G23、G30和G31，G6前一個時段的信號也并不穩定。

圖1 未使用卡爾曼濾波衛星星歷圖

圖2 未使用卡爾曼濾波衛星信號殘差圖

圖3 使用卡爾曼濾波衛星星歷圖

圖4 使用卡爾曼濾波衛星信號殘差圖

圖2是衛星信號殘差圖的顯示，從圖的顯示來看，標準偏差軟件默認為0.006M，但是這里最大和最小的誤差都達到了0.013M，從理論上來講，已經超限，并且，從10點23分45秒到11點28分45秒，衛星信號為零，信號從11點28分45秒之后出現，波動也較大，這樣的信號和殘差取得數據精度基本是不可靠的。

表1是矢量表，表2是標準誤差表，表4-3是后驗協方差矩陣，從上面三個表格看出，沒有使用卡爾曼濾波，得到的GPS平差的幾個重要數據，也符合規范要求，但平差情況不是最優。

表1 未使用卡爾曼濾波矢量表

表2 未使用卡爾曼濾波標準誤差表

接下來，我們再看看，當我們使用了卡爾曼濾波模型之后出現的信號源和殘差情況。

圖 3是采用了卡爾曼濾波后的衛星信號殘差圖的顯示，從圖的顯示來看，標準偏差軟件默認為0.002M，但是這里最小誤差為-0.005M，最大誤差也僅為0.007M，從理論上來講，平差結果不僅符合規范，精度也達到最佳。GPS整個觀測從10點23分45秒到11點33分45秒衛星信號非常穩定，波動較小，誤差始終圍繞標準誤差均勻波動。表4-3、表4-4和表4-5分別是使用卡爾曼濾波模型后的矢量表，標準誤差和后驗協方差矩陣。從以上三個表格看出，使用卡爾曼濾波，得到的GPS平差的幾個重要數據，不僅符合規范要求，平差情況也達到最優。

表3 未使用卡爾曼濾波后驗協方差矩陣表

表4 使用卡爾曼濾波矢量表

表5 使用卡爾曼濾波標準誤差表

金控制測量以金子山和馬齒梁為已知控制點，通過測量平差后得到的未知坐標結果見表7，幾個未知坐標的增量變化見表8。

表6 使用卡爾曼濾波后驗協方差矩陣表

4 結論

從以上圖和表格的數據比較和分析，我們不難可以得出以下結論：卡爾曼濾波數學模型可以大大提高GPS控制測量精度，可以大大減弱衛星信號殘差、使星歷信號盡量保持在一個較小區間內波動，從而優化平差演算過程。

表7 平差測量所得未知坐標

表8 未知坐標增量變化表

[1] 彭丁聰. 卡爾曼濾波的基本原理及應用. 軟件導刊，2009.

[2] 敬喜. 卡爾曼濾波器及其應用基礎[M]. 北京：國防工業出版社，1973.

[3] 于德興，楊兆升，劉雪杰. 基于卡爾曼濾波的GPS/DR導航信息融合方法[Z]. 2006.