基于粒子濾波的混沌同步性能研究

任鳳娟，馮四風

（1. 鄭州城市職業學院，河南鄭州，452370；2.上海普華誠信信息技術有限公司，上海，454003）

0 引言

在混沌通信中，通信系統收發雙方的混沌同步是一個關鍵技術。隨著人們對混沌同步以及混沌通信的深入研究，基于狀態空間的自適應濾波同步方法應運而生。擴展卡爾曼濾波(EKF)和無損卡爾曼濾波(UKF)在對于個別特殊的環境有較好的濾波效果，但缺乏對普遍的非線性、非高斯問題的處理能力。在低信噪比情況下，這兩種混沌同步方法的性能不是很理想。粒子濾波算法適合用于處理各種非線性、非高斯問題，更適于混沌通信過程中的信號處理問題。本文研究了粒子濾波算法，對混沌同步問題進行了數學建模，實現了基于粒子濾波的混沌同步。仿真表明，同EKF和UKF混沌同步相比，粒子濾波混沌同步的魯棒性更好，在相同信噪比下，其同步誤差相對更低。

1 混沌同步

在混沌保密通信中，相干解調的保密性能更好。然而，相干解調需要系統發送端和接收端的混沌信號的同步，通過同步信號解調出信息數據。因此，混沌同步就成為混沌保密通信中的關鍵技術之一。

1.1 混沌同步模型的建立

考慮到一維離散混沌信號，混沌通信過程中的混沌同步問題可以被描述為一般的狀態空間模型：

（1）式為狀態方程，（2）式為量測方程。其中 xn∈?n，表示狀態變量，yn∈?m，表示觀測變量（ n,m均為正整數）；f(xn-1)表示非線性狀態轉移函數；C = 1 為觀測向量；vn和wn表示相互獨立的過程激勵噪聲和觀測噪聲，假設 vn在任何時刻都為零，wn～(0,σw2) 為正態分布的高斯白噪聲。

考慮到Tent混沌系統，Tent的映射公式表示為xn+1= a - 1 - a xn, (1 ＜ a ≤ 2 )，當參數a選擇合適時，其值可均勻的分布在[-1,1]這個范圍之內，則（1）式中的非線性狀態轉移函數可以替代為Tent混沌映射。

1.2 濾波器的混沌同步

濾波器的混沌同步就是利用帶噪聲的觀測值ny估計系統狀態的真值nx，即混沌系統狀態的最優估計問題，基于濾波器的混沌同步原理框圖如圖1所示。

圖1 濾波混沌同步原理框圖

用于混沌同步的濾波算法有EKF、UKF和粒子濾波等，其中EKF是經典卡曼濾波方法的一種推廣，它以一階線性化思想為基礎，把后驗分布近似為高斯分布，將狀態方程和觀測方程線性化了。UKF以確定的一組采樣點經過真實的非線性函數變換后對需要近似的后驗分布的均值和方差可以精確到三階泰勒展開式，且在濾波過程中不需要計算雅克比矩陣。然而，EKF和UKF都只適用于高斯分布的狀態，當系統狀態呈現出多峰值時，這些方法的濾波性能就會惡化。粒子濾波算法基于蒙特卡羅的思想，它通過大量的粒子來近似系統狀態的后驗概率分布，彌補了EKF和UKF的缺點。

2 濾波算法

2.1 EKF算法

EKF是經典卡爾曼濾波器的改進形式，同經典卡爾曼濾波原理基本一致。EKF算法主要分為預測和更新兩個部分。在狀態空間模型（1）和（2）基礎上，其具體算法如下。

（1）時間更新（預測）狀態一步預測：

由此可見，EKF通過在最優估計點附近計算非線性函數的泰勒級數并將高階分量舍棄，進而將非線性系統近似線性化以達到可以處理非線性問題的目的。

2.2 UKF算法

UKF結合了無損變換和卡爾曼濾波算法，應用于非線性高斯系統的狀態估計中。在狀態空間模型（1）和（2）基礎上，該算法具體步驟如下：

先對系統狀態進行初始化：

式中的Q和R為過程噪聲和測量噪聲的協方差矩陣。

（1）用無損變換求系統狀態的一步預測x?n|n-1，求誤差協方差一步預測 Pn|n-1

（2）用無損變換求σ通過測量方程的傳播點

2.3 粒子濾波算法

粒子濾波的思想基于蒙特卡洛方法，它是利用粒子集來表示概率，可以用在任何形式的狀態空間模型上。其核心思想是通過從后驗概率中抽取的隨機狀態粒子來表達其分布，是一種順序重要性采樣法。由于粒子濾波算法中沒有將非線性系統線性化，所以在處理非線性問題時隨機變量不必滿足高斯分布，能夠適用于各種非線性、非高斯模型。

在狀態空間模型的基礎上，粒子濾波具體算法如下：

（2）重要性采樣：采用狀態方程作為重要性采樣函數。

（3）利用帶噪聲的觀測信號 yn計算重要性權值：

3 仿真結果

Matlab仿真中設置粒子濾波算法的粒子數為5000，混沌信號由Tent混沌系統產生。粒子濾波算法在經過重采樣之后很快就會出現了粒子匱乏現象。因此，需要對粒子加入擾動，以增加粒子的多樣性，提高粒子濾波的整體濾波性能。如圖2所示為信噪比為10dB時一段長度為50的混沌序列的混沌同步。從圖中可以看到，粒子濾波同步方法可以較好地同步系統的混沌信號，并且同步性能穩定。

圖2 粒子濾波混沌同步

圖3 不同信噪比下各同步方法的同步均方誤差

定義同步信號和原混沌信號的均方誤差為混沌同步的均方誤差，不同信噪比下各混沌同步方法的均方誤差曲線如圖3所示。由圖可知，信噪比較高時，各混沌同步方法的均方誤差相差不大，且隨著信噪比的增大，各同步方法的均方誤差逐漸趨近于零。然而，信噪比較低時，EKF和UKF的混沌同步均方誤差曲線相近且UKF稍低于EKF，粒子濾波混沌同步的均方誤差曲線則明顯低于以上兩種同步方法，這說明在低信噪比下，粒子濾波混沌同步性能優于EKF和UKF的混沌同步性能。

4 總結

文中研究了粒子濾波算法的混沌同步。首先對混沌同步問題進行數學模型的建立，然后在數學模型的基礎之上構建粒子濾波器來估計混沌系統的狀態以實現混沌同步。最后比較了EKF、UKF和粒子濾波這三種混沌同步方法在不同信噪比下的混沌同步的均方誤差。仿真結果表明，在信噪比較低時，粒子濾波混沌同步具有更低的均方誤差，更穩定的同步性能。