概率論與數理統計的趣味教學

摘要：概率論與數理統計是理工科大學生的一門重要的必修課程，但是和其他數學課程一樣，概率論和數理統計這門課也是比較枯燥和難學的.因此，提高課堂教學的趣味性，激發學生的學習興趣就顯得十分重要，從幾個方面闡述如何做到這一點.

關鍵詞：概率論 數理統計 趣味教學

概率論與數理統計是理工科大學生的一門重要的必修課程，由于該學科與生活實踐和生產實際有著密切的聯系，是許多學科的基礎，因此學好這一學科是十分重要的.但是，和其他數學課程一樣，概率論和數理統計這門課也是比較枯燥和難學的，因此提高課堂教學的趣味性，激發學生的學習興趣就顯得十分重要.本文試圖從引入游戲、聯系實際、引入趣聞軼事等幾個方面，說明如何提高這門課的趣味性.

一、引入游戲

眾所周知，概率論與數理統計這門課程源于機會游戲，其中很多概念和例子都和游戲相關，因此，引入游戲不僅能激發學生的興趣，往往還能反映問題的本質.下面通過一些例子來說明.

例1（分賭本問題）：兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏m局就贏得全部賭注t，在一人贏a局， 另一人贏b局，這里a，b均小于s， 賭博因故中止.問賭本應怎樣分才合理.

分賭注問題是一個非常有趣的問題，早在16世紀，西歐就有人討論，路加·巴巧羅提出按已贏局數的比例來分配賭注，意大利醫生加爾達諾指出這樣分配沒有考慮到如果賭博能夠正常終止每個賭徒還能贏的局數.后來賭博者梅爾曾向數學家帕斯卡請教過這個問題，帕斯卡將自己的解法寫信告訴了費爾馬.后來數學家惠更斯參加了他們的討論并將解法寫進了他的著作《論機會游戲的計算》一書中.他們的解法都有按贏得整局比賽的概率來分配賭本的思想，這實際上就是數學期望的思想.在講解期望的概念時舉出這個例子不僅能引起學生的極大興趣，還能展示期望這一概念的本質和它解決問題的強大能力.

例2（門和山羊問題）：美國一個電視中有這樣一個有趣的游戲：節目場景中有3扇門，每扇門后是一個房間.其中一個房間里放著山羊，另兩個房間是空的.游戲節目主持人請你在這三個房間中挑選一個，如果你挑中了有山羊的房間，你就贏得了山羊，顯然其余兩個房間至少有一個是空的.主持人知道山羊放在哪個房間，現在他在余下的兩扇門中有意打開了一扇空房間的門.這時你可以再次選擇，是堅持當初的選擇呢，還是選擇另一扇關著的門呢？

這是一個引起了廣泛爭論的問題，正確答案是什么呢？如果你堅持最開始的選擇，那么如果你一開始的時候猜測正確你就贏得了山羊，這個事件發生的概率是1/3.如果你改變選擇的話，當你的初始選擇是錯誤的話你就能贏，這個概率是2/3.所以我們應該改變選擇.我們理解了這個問題，我們就能更好的認識條件概率，如果游戲節目的主持人先是猜測猜測應該打開哪扇房門，然后打開這扇門，結果是一個空房間，那么你堅持最初的選擇和改變選擇贏得山羊的概率都是1/2，這里沒有條件概率而原來的游戲實際上是一個條件概率.同時通過這個例子，還可以看到巧妙地運用對立事件，能夠取得事半功倍的效果.

二、聯系實際

概率論與數理統計是一門密切聯系實際的學科，我們在教學中密切聯系實際，不僅能讓學生體會到概率論在解決實際問題中的強大威力，還能有效地激發學生的學習興趣.我們還是通過實例來進行說明.

例3（生育政策）：有人建議我國采用如下計劃生育政策，如果一對夫婦第一胎生的是女孩，就允許再生一胎，否則不許再生，這樣的政策會不會導致性別比失衡.

這是一個在網絡上廣泛討論的問題，有人認為這會導致男孩增多，影響性別平衡，但實際上并不是這樣的，因為每次生男孩生女孩的概率都約為1/2，所以無論采用什么樣的生育政策都不會影響性別平衡.

例4（湖中有多少條魚）：為估計湖中魚數N，同時從湖中捕出r條魚，做上記號又都放回湖中，一段時間后再自湖中捕出s條，結果發現有x條標有記號，試根據此信息估計N的值.

這是一個和生產實際密切相關的問題，解法較多，下面給出一種用最大似然估計的方法.因為在第二次捕魚之前x的值不可預測，用X來表示捕出的s條魚中標有記號的條數，則X是一個隨機變量.由于第二次捕魚時不放回的，所以X服從超幾何分布.

通過這個例子，可以看到最大似然估計在解決實際問題中的作用.

三、引入趣聞軼事

學生往往對一些數學史實、趣聞軼事感興趣，若果能將某些知識點融入相關趣聞軼事中，不僅能激發學生的學習興趣，還能使學生清楚知識的來龍去脈，收到良好的效果.

例如，在介紹t分布的時候就可以介紹相關史實，告訴同學們t分布是哥賽特首先發現的，當時他是愛爾蘭都柏林健力士啤酒廠的一名員工，在做質量監測的時候，他發現當樣本容量較小的時候Z-檢驗誤差較大，于是用T-檢驗改進了Z-檢驗.由于啤酒廠不允許不允許員工發表一切與釀酒相關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下以筆名發表t分布的發現.哥賽特比較謙虛，認為自己不是數學專業人士，自謙為學生，就用學生的筆名發表了相關成果.

再比如，介紹到貝葉斯公式時，可以順帶介紹貝葉斯學派，以及貝葉斯學派和頻率學派的爭論，這樣可以讓學生認識到確定先驗概率并不像想象中容易.更為重要的是可以讓學生了解到學術的標準并不是唯一的，可以有不同的學派，可以有爭論，不同的學術思想可以共存，這對改變慣于尋求標準答案的中國教育不無裨益.

總之，提升概率論與數理統計課的趣味性是及其重要的，除了前文介紹的方法外還有很多方法，如還可以介紹相關前沿課題，增加討論環節，等等.不同的教師可以根據實際情況采取不同的教學方法.

參考文獻：

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