基于自相關的自回歸模型參數的折扣最小二乘估計

摘要：本文簡要介紹了基于自相關的自回歸模型參數的折扣最

小二乘估計。

關鍵詞：自相關 自回歸模型參數 折扣最小二乘

社會經濟現象在較短時期內的結構穩定性一般總是優于較長時期，分析對象在兩個較為接近的時期，其結構的相似性一般總是大于兩個相距較遠的時期。而結構穩定性是成功預測的關鍵，因此，在預測時，就要相對地強調近期資料，即遵守“近大遠小”原則。

“折扣”最小二乘準則是“折扣殘差平方和最小”，即

達到最小，其中α是折扣系數，α∈（0，1），由上式可以看出就是利用αn-i進行加權，對近期擬合誤差給以較大的權數，對遠期擬合誤差給以較小的權數，一般對于波動較大的時間序列，折扣要打得大一些，對于波動較小的時間序列，折扣要打得小一些。

【引理1】二元線性回歸模型：y=α0+α1x1+α2x2+e，運用“折扣”最小二乘準則，使得ε■■=■an-i[yi-（α0+α1x1i+α2x2i）]2=min達到最小，分別對α0，α1，α2求偏導數，得到正規方程組：

利用克拉姆法則便可得α0，α1，α2的“折扣”最小二乘估計公式。

【引理2】三元線性回歸模型，y=α0+α1x1+α2x2+α3x3+e，運用“折扣”最小二乘準則，使得ε■■=■an-i[yi-（α0+α1x1i+α2x2i+α3x3i）]2=min達到最小，分別對α0，α1，α2，α3求偏導數，得到正規方程組

利用克拉姆法則便可得α0，α1，α2，α3的“折扣”最小二乘估計公式。

1 線性自回歸模型

已知時間序列{Xt}，X1，X2，…，Xn，建立線性自回歸模型：Xt=α+βXt-1+μt（μt=ρμt-1+υt）

有：Xt=α+βXt-1+μt （1.1）

Xt-1=α+βXt-2+μt-1 （1.2）

用（1.1）- （1.2）得：

Xt-ρXt-1=α（1-ρ）+βXt-1-ρβXt-2+μt-ρμt-1

因μt=ρμt-1+υt，

則：Xt=α（1-ρ）+（ρ+β）Xt-1-ρβXt-2+υt

“類比”引理1得到正規方程組：

利用克拉姆法則可求得未知數α（1-ρ），β+ρ，-βρ，從而可得α，β的“折扣”最小二乘估計公式。

2 冪函數自回歸模型

已知時間序列{Xt}，建立冪函數自回歸模型Xt=αX■■expμt（μt=ρμt-1+υt），則

用（2.1）- （2.2）得

“類比”引理1得到正規方程組：

利用克拉姆法則可求得未知數（1-ρ）α，β+ρ，-βρ，從而可得α，β的“折扣”最小二乘估計公式。

3 指數函數自回歸模型

已知時間序列{Xt}，建立指數函數自回歸模型Xt=αβ■expμt（μt=ρμt-1+υt），則lnXt=lnα+lnβXt-1+μt（3.1）

lnXt-1=lnα+lnβXt-2+μt-1（3.2）

用（3.1）-ρ×（3.2）得

因μt=ρμt-1υt，則

“類比”引理2得到正規方程組：

利用克拉姆法則可求得未知數（1-ρ）α，β，ρ，-βρ，從而可得α，β的“折扣”最小二乘估計公式。

4 對數函數自回歸模型

已知時間序列{Xt}，建立對數函數自回歸模型Xt=α+βlgXt-1+μt（μt=ρμt-1+υt），則

用（4.1）-ρ（4.2）得：

“類比”引理2得到正規方程組：

利用克拉姆法則可求得未知數（1-ρ）α，β，ρ，-βρ，從而可得α，β的“折扣”最小二乘估計公式。

參考文獻：

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基金項目：

南通大學杏林學院大學生實踐創新訓練計劃項目。

通訊作者：呂效國。