函數的無界量與無窮大量

摘要：在高等數學的教學過程中發現，學生往往將函數的無界量與無窮大量這兩個概念混為一談。本文從無界量與無窮大量的定義出發，給出了如何判定函數是無界量以及如何判定函數不是無窮大量的方法。

關鍵詞：無界量 無窮大量 收斂

1 定義

定義1 ？坌M>0，？堝x0∈I有│f（x0）│>M則稱f（x）是I上的無界量。

定義2 ？坌M>0，？堝x0∈I當x∈U0（x0，δ）時，有│f（x）│>M，則稱f（x）為當x→x0時的無窮大量。記為■f（x）=∞。（x的其他變化過程可類似定義）

顯然：無窮大量必是無界量，反之不然。（x是同一變化過程）

2 主要結論

定理1 f（x）為當x→x0時的無界量的充要條件是存在數列{xn}？奐U0（x0），xn→x0（n→∞），使得{f（xn）}是無窮大量。

證明：（必要性）？坌δ>0，？坌M>0，？堝x'∈U0（x0δ），使得│f（x'）│>M

取δ=δ0>0，M=1，？堝x1∈U0（x0δ0），│f（x1）│>1

取δ=■，M=2，？堝x2∈U0（x0■），│f（x2）│>2

如此繼續下去，得0<│xn-x0│<■，│f（xn）│>n

顯然，xn→x0（n→∞），且{f（xn）}為無窮大量。

（充分性）？坌δ>0，？坌M>0，由于xn→x0（n→∞），{f（xn）}是無窮大量，

？堝N1，當n>N1時，│xn-x0│<δ，

？堝N2，當n>N2時，│f（xn）│>M，

從而？堝n0（只要n0>max（N1，N2）），就有x■∈U0（x0，δ），且│f（x■）│>M。

結論1 證明函數f（x）在區間I上無界的方法：找出數列xn，xn∈I而{f（xn）}為無窮大數列。

定理2 數列{xn}不是無窮大量的充要條件是存在收斂的子數列。

證明：由數列的性質可知：若數列{xn}是無窮大量，則它的任何子數列都是無窮大量。所以如果數列{xn}的某個子數列收斂，則該數列{xn}就不是無窮大量。

由定理2和闡述函數極限與數列極限的關系的海涅定理，我們可以得到定理3。

定理3 ■f（x）≠∞的充要條件是存在數列{xn}？奐U0（x0），xn→x0（n→∞），使得{f（xn）}收斂。

結論2 證明■f（x）≠∞的方法：

方法1找出數列 {xn}？奐U0（x0），xn→x0（n→∞），而{f（xn）}為收斂數列；方法2 反證法。

3 結論應用

例題1 證明當x→0時，f（x）=■sin■是無界量，但不是無窮大量。

證明：取xn=■，則xn→0，f（x■）=2nπ+■→∞

由結論1可知f（x）=■sin■是無界量。

取x'n=■，則x'n→0，f（x'n）=0，

由結論2的方法1可知f（x）=■sin■不是無窮大量。

例題2設■f（x）≠∞，若在U（x0）內g（x）有界，則必有■f（x）g（x）≠∞。

證明：利用結論2的方法2反證法。反設在x→x0時 f（x）g（x）為無窮大，又在U（x0）內g（x）有界，即存在一正數M使得│g（x）│≤M，故有│f（x）g（x）│≤M│f（x）│。由無窮大的定義及上述不等式即知│f（x）│也為無窮大，這與題設條件矛盾。從而命題得證。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吉米多維奇著，李榮凍譯.數學分析習題集[M].北京：人民教育出版社，1956.

[3]鄒慧超，周莉，唐瑞娜.無窮大量階的比較在無窮積分中的應用[J].煙臺師范學院學報（自然科學版），2003（02）.

作者簡介：

吳海燕（1982-），女，湖北襄陽人，湖北大學知行學院計算機系，碩士，助教，研究方向：運籌學與控制論。