二元函數的最值及其經濟應用

摘 要：在實際生活會大量遇到求多元函數的最大值、最小值的問題。與一元函數的情形類似，多元函數的最大值、最小值與極大值、極小值密切相關。舉例說明二元函數的最值及其在經濟中的應用問題。

關鍵詞：二元函數;最值;經濟;應用

中圖分類號：F12 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函數的最大值與最小值

求函數f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數f（x，y）在D內所有駐點處的函數值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數值進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

在通常遇到的實際問題中，如果根據問題的性質，可以判斷出函數f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內部取得，而函數f（x，y）在D內只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數值就是函數f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函數的最值在經濟中的應用

例1 "設q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價格，試問價格p1，p2取何值時可使利潤最大？

解 按題意，總收益函數為：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是總利潤函數為

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

為使總利潤最大，求一階偏導數，并令其為零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L\"xy）2-L\"xx·L\"yy=82-（-4）（-20）lt;0

故取p1=63/2，p2=14價格時利潤可達最大，而此時得產量為q1=9，q2=6。

例2 "在經濟學中有個Cobb-Douglas生產函數模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表勞動力的數量，y為資本數量（確切地說是y個單位資本），c與α（0lt;αlt;1）是常數，由各工廠的具體情形而定，函數值表示生產量，現在已知某制造商的Cobb-Douglas生產函數是f（x，y）=100x3/4y1/4每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本，以使生產量最高。

解 這是個條件極值問題，求函數f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一個方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結果代入方程組的第三個方程得x=250，y=50，即該制造商應該雇用250個勞動力而把其余的部分作為資本投入，這時可獲得最大產量f（250，50）=16 719。

例3 設銷售收入R（單位：萬元）與花費在兩種廣告宣傳的費用x，y（單位：萬元）之間的關系為

利潤額相當于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費用.已知廣告費用總預算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費用使利潤最大？

解 " 設利潤為z，有

限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

從而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根據問題本身的意義及駐點的唯一性即知，當投入兩種廣告的費用分別為15萬元和10萬元時，可使利潤最大。

例4 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c，每臺電視機的銷售價格為p，銷售量為x。假設該廠的生產處于平衡狀態，即電視機的生產量等于銷售量，根據市場預測，銷售量x與銷售價格為p之間有下面的關系：

x=Me-ap （Mgt;0，agt;0） " （1）

其中M為市場最大需求量，a是價格系數。同時，生產部門根據對生產環節的分析，對每臺電視機的生產成本c有如下測算：

c=c0-klnx " （kgt;0，xgt;1） （2）

其中c0是只生產一臺電視機時的成本，k是規模系數，根據上述條件，應如何確定電視機的售價p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 "設廠家獲得的利潤為u，每臺電視機售價為p，每臺生產成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。

于是問題化為利潤函數u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。

利用拉格朗日乘數法，作拉格朗日函數：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由問題本身可知最優價格必定存在，故這個p*就是電視機的最優價格。

參考文獻：

[1] "吳傳生.經濟數學一微積分[M].北京.高等教育出版社，2003.

[2] "吳贛昌.微積分（經管類）下冊[M].北京：中國人民大學出版社，2007.[責任編輯 " 吳高君]