HPM視角下相似三角形應用的教學設計

摘 要 在新課標的背景下，國家明確強調數學文化在教學中的滲透。而數學知識的流通大部分是通過教師教學融入的，本文通過介紹在HPM視角下的一個教學設計，將數學史有效融入課堂教學。

關鍵詞 新課標 數學史 課堂教學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Application perspective of HPM under similar triangles of teaching design

TAN Yan

（College of Mathematics and Statistics， Southwest University， Chongqing 400715）

Abstract In the context of the new curriculum， state clearly that the infiltration of mathematical culture in teaching. Circulation of mathematical knowledge mostly by teachers' teaching， this paper introduces a design of teaching in the view of HPM， making the history of mathematics into the classroom teaching.

Key words new curriculum； history of mathematics； classroom teaching

相似三角形的應用在數學的歷史上起源較早，相關歷史在《數學》（華東師大版九年級（上））第24章中以例題、習題、閱讀材料的形式出現，教材中的數學史知識相對較多。為了使數學史有效融入課堂教學，教師要挖掘相似三角形的應用的歷史背景，將數學史內容的“史學形態”轉化為適合用于教學的“教育形態”，從而將數學史隱性融入教學，同時滲透數學思想方法。

1 教法——發生教學法

發生教學法是基于HPM視角下教學設計優先選擇的教學方法，這種方法對概念、定理的學習比較適用，對于應用相似三角形的性質同適用，我們可以遵循這種教學法的原則：

（1）教師了解所教主題的歷史；（2）理解該主題歷史進化的關鍵步驟；（3）在現代情境下重構推動進化的關鍵思想或問題，使之在教學上適合介紹新的概念、方法或理論；（4）上述重構的步驟按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面問題的基礎上，采取有序的問題驅動模式。

教學設計中的教法采取的是發生教學法，以該知識進化的關鍵步驟為順序，由易到難，在符合學生認知水平的情況下，設計系列問題，體現了知識的歷史知識發展的連貫性和學生學習的系統性。

2 教學設計

2.1 發現問題，主動探索，歷史重現

師：展示金字塔的圖片，簡要講解金子塔的來歷，動態展示金子塔的幾何圖形。以圖片的視覺效應將學生帶入課堂，做好學習新課的準備。教師講解相關歷史知識使學生學習興趣濃厚，動態的圖形展示激發學生自己發現問題、提出問題。

問題1：古希臘幾何鼻祖泰勒斯是非常著名的數學家。有一天，國王想考考泰勒斯，就問他：你能測出金字塔的高度嗎？假如你是泰勒斯，你能夠用桌上的工具想出測金字塔高的方法嗎？

【設計意圖】問題1的引入自然合理，是學生解決問題的動力源泉。

生：用長直尺比劃，想直接測量出山的高度，但顯然直尺沒有山高，放棄了這種方法。

師：提醒學生，金子塔很高，古代是沒有辦法用工具直接測出山高。

生：部分同學打開電筒，有少部分學生發現山的影子可以測量，有極少的同學在操控木棒。

【設計意圖】讓學生大膽想象，經歷古人測量金字塔時的思考過程，領會解決問題步驟的緣由，有助于后面步驟的理解。

問題2：要求學生測出三個木棒在光下的影長，并完成下表。（精確度要求：木棒影長與木棒長度，木棒影長/木棒長度的計算精確到0.1。）

【設計意圖】 教師引導學生經歷古人的思考過程，且問題2可操作性強，學生容易理解，部分學生可能會想到用相似三角形的性質去解決問題。

師：用投影儀將一組學生的表格展示出來（表1）.

表1

師：啟發學生發現了什么？

生：大部分學生能夠發現木棒長度比木棒影長都是為2.0。

師：（出示太陽光照射兩根木的棒的圖片），說明由于太陽距離我們太遠，所以光線是平行的，而手電筒的光線也是平行的，所以可以充當太陽光。將幾何圖形展示在PPT上。你們能證明為什么是定值嗎？

生：證明。

圖1

【設計意圖】讓學生自己發現定值問題，提出問題，猜測結論，證明結論，而此過程正是古代數學家泰勒斯在測量金子塔高度時所經歷的理論推導過程。為后面問題的解決奠定了基礎，讓學生獲得了成功的體驗，學習動機增強。

師：如果我們將圖1中高的木棒看成金子塔，你能夠測出塔高嗎？

生：開始操作，列出公式，計算。

師：PPT展示幾何圖形和完整的解題過程。

2.2 合作探究，滲透方法

問題3：同學們，除了用這種方法你還可以用其他方法測樹高嗎？小組討論，設計方案。

師：學生可能想到的如下圖（圖2～5）：

圖2 圖3

圖4 圖5

師：分析學生的設計方案，解釋方案的合理性。以問題4的形式講解圖2的方法，并解釋這種方法是古代九章算術中的一種方法，同學們真聰明！

問題4 ：已知一座山在木標（EC）西，山與木標的距離（EF）53米，木標高8米。人（NM）站在木標東3米，望見木稍（C）與山尖（P）三點成一線，人眼以下高MN=1.5米，問山的高度是多少？（《九章算術》卷九〈二十三〉）

師：引導學生沒有太陽光，還能測出山的高度嗎。

師：引導學生借助自己的眼睛。

展示完整的過程。

解：設山高為因，因為△OPC∽△ACB（見圖6）

所以 = =

=

≈128.3米

圖6 圖7

問題5：當泰勒斯測出金子塔的高度后，更加德高望眾了。但國王還是不滿意，又出了新的問題，如圖7，如果國王站在金字塔的A點，泰勒斯站在B點，你能測出A、B之間的距離嗎？

師：展示完整的過程。

師：泰勒斯用“間接法”求出兩點間的距離，其方法一直延用至今。這也是我們今后求不能直接測量兩點間距離常用的方法。

【設計意圖】此方法是求不能直接測量物體間長度常用的方法，也是教學目標中要掌握的方法之一。

2.3 歸納小結，鞏固訓練

師：PPT展示前面三種相似三角形的模型，小結做題步驟。

【設計意圖】及時鞏固訓練，加強學生對知識的應用，且例題的難度中等，也出現了尺規作圖題，培養學生對幾何空間能力的形成。

2.4 學生總結，布置作業

師：在數學歷史的長河中，人們對相似三角形應用的研究保持著熱情，我們今天學習了這個知識，你們能談談對該知識的感受嗎？

參考文獻

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