高數教學中函數極限的一題多解

摘 要 極限是微積分的靈魂，本文通過兩道函數極限例題的一題多解，培養學生思維的敏捷性和靈活性，實現能力上實現一個“飛躍” 。

關鍵詞 極限 思維 高等數學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Multiple Solutions to a Problem of Function

Limit in Higher Mathematics Teaching

YANG Miaomiao， WANG Junhua

（Zhengzhou Institute of Technology， Zhengzhou， Henan 451150）

Abstract The limit is the calculus of soul， through a two limit function examples of multiple solutions， to cultivate the students' thinking agility and flexibility， to achieve a \"leap\" of implementation ability.

Key words limit； thinking； higher mathematics teaching

極限是高等數學中的一個重要的概念。它在一些問題中，尤其是在幾何問題和物理問題中為求精確解時而產生的。從極限思想的產生到極限理論的確定，經歷了大約兩千年的時間。極限理論的確定是微分和積分有了堅實的邏輯基礎，并使微積分在當今科學的各個領域得以更廣泛、更合理、更深刻的應用和發展。極限是微積分的靈魂。

對于函數求極限的方法有多種，學生往往比較難掌握。課本中對計算函數極限提供了幾種計算方法，例如：利用極限定義；極限的運算法則；利用等價無窮小量替換；函數的連續性；夾逼準則；導數定義；洛必達法則；利用拉格朗日中值定理；一些已知極限等等。但在解同一個問題時，由于不同的人，抓住問題的特點不同，或者運用的知識不同，對同一個問題可能采用各種不同的解法，這就是一題多解 。筆者認為，在極限教學過程中可以從不同角度分析所求函數極限的結構特點，進而利用一題多解，從而加深對極限知識的理解，訓練學生多向思維的能力，還增加學生學習的趣味性。下面通過兩道例題進行分析：

例1 求極限

解法一：利用導數定義 （） =

原式 = =

解法二：三角函數和差化積

= 2

原式 = =

利用第一重要極限 = 1

上式 = 2· =

解法三：利用等價無窮小替換→0， 得

→，

原式 = =

= = =

解法四：“”未定式，利用羅比達法則得

原式 = =

解法五：令函數 （） = 在區間[]或[]上滿足拉格朗日中值定理的條件，得原式 = （介于與之間）。

例2 求極限·

解法一：利用第二重要極限 =

原式 = =

= = =

解法二：利用羅比達法則

原式 =

解法三：利用等價無窮小替換→0， ，

則→+， →0， （1+ ）

原式 = · （1+ ） = · =

解法四：令函數 （） = （）在區間[]或[]上滿足拉格朗日中值定理的條件，得 （下轉第52頁）（上接第42頁）

原式 = ·[] = ··

= = （介于與之間）

當然不是每道題都有多種解法，一題多解是手段不是目的。一題多解的可能性來源于能直接或間接利用上述多種工具的條件。經常引導學生通過“一題多解”的訓練，能培養學生思維的敏捷性和靈活性。只有思維“活躍”了，解法上“合理”了，才能在能力上實現一個“飛躍”，在“一題多解”訓練時，同時要引導學生對各種解法進行比較，讓發散的思維再收斂到最佳解題方法上去。

參考文獻

[1] 王振吉，王斌.高等數學及其應用[M].北京理工大學出版社，2012：23-60.

[2] 同濟大學等.高等數學（上冊）[M].高等教育出版社，2008：14-89.