追求有思想的數學課堂

摘 要： 小學數學教學體系貫穿著兩條主線：數學知識和數學思想方法。數學知識是一條明線，直接呈現在教材上。而數學思想方法則是一條暗線，隱藏在知識的背后。這就必然要求教師充分挖掘和理解教材中所體現的數學思想方法并加以滲透，使學生感悟數學思想方法的魅力。

關鍵詞： 數學思想方法 對應思想 數形結合思想 化繁為簡思想 建模思想

《義務教育數學課程標準（2011）》指出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法與必要的應用技能。”由此看來，數學知識本身固然非常重要，但它并不是唯一的決定因素。小學數學教學體系貫穿著兩條主線：數學知識和數學思想方法。數學知識是一條明線，直接呈現在教材上。而數學思想方法則是一條暗線，隱藏在知識背后。這就必然要求教師充分挖掘和理解教材中所體現的數學思想方法并加以滲透，使學生感悟數學思想方法的魅力。例如，四年級下冊《植樹問題》，為了落實滲透數學思想的教學目標，教師應注意以下幾點。

一、重點滲透一一對應思想

“植樹問題”屬于經典的數學教學內容，以往教學基本是關于“植樹問題”的三種模型的區分。教學中，通過探究植樹問題的三種類型和生活中的一些類似題目，使學生掌握此類問題的解題模型，學會化繁為簡的思考方法，突顯化歸思想。但我認為化歸思想并不是“植樹問題”唯一的選擇，在教學目標的制定上，除了基本的知識目標外，應該把一一對應、數形結合的數學思想作為探究植樹問題的基本思想方法，同時滲透化繁為簡思想和建模思想，而“植樹問題”教學的靈魂應該是“對應思想”。在教學中，應該著重引導學生明確“間隔”與“樹”這兩者之間的對應關系，突出“一一對應”思想，然后再以此為基礎探究“植樹問題”的三種模型。基于以上考慮，教學中我認為可設計三個層次凸顯對應思想。

1.激活。課伊始先展示兩組圖片，比一比：大頭兒子和小頭爸爸的圖片哪個多（一組凌亂排列，另一組對應排列）？你是怎么看出來的？通過運用學生熟知的動畫形象，激發學生的學習興趣，讓學生對一一對應思想有強烈的反應，激活學生已有的數學經驗。

2.感知。接著，依次出示三組比較題：

（1）△○△○△○… △○

（2）○△○△○△… ○△ ○

（3）△○△○△○… △○ △

逐個提問：三角形有100個，圓有幾個？為什么。引導學生將三角形和圓一一對應后發現圓和三角形相等、或多1、或少1。這樣，既進一步突出了第一層次的作用，使學生對一一對應有了新的認識，又使學生主動運用這種思想解決了一些簡單的問題，為下個環節的學習做好思想方法上的準備。

3.體驗。《課標》指出：有效的數學活動不是單純依賴模仿與記憶，而是讓學生參與實踐、自主探索、合作交流、評價反思等重要學習方式。因此，在進行“兩端都種”這一模型的探究時：我先讓學生通過畫線段圖模擬種樹（強調為研究方便，截取其中的20米），讓學生直觀體會到：兩端都種時，最后（最先）種的這棵樹沒有間隔和它對應，發現了棵數比間隔數多1。在這活動中，學生經歷用一一對應思想解決問題的過程，達到了在體驗中領悟數學思想方法的目的。接著，進一步提問：“兩端都栽時，棵樹比間隔數多1”，20米的小路上是這樣，如果是50米、100米甚至更長的路呢？引發學生進一步思考，并感受到從直觀圖示中不能直接看到“間隔”與“樹”的關系，必須按“一一對應”的方法算得，不知不覺中，學生從中體會到了“一一對應”思想的妙處。而對于另兩類植樹問題，則進一步抽象出對應圖，讓學生不能用直觀的方式數出間隔數和棵數的關系，“逼著”每個學生只能通過一一對應判斷兩個量的多少，更是凸顯了一一對應的思想方法。最后圍繞“棵數”和“間隔數”之間的關系，不斷進行變式練習，但萬變不離其宗——“一一對應”思想一直統領全課。學生依據表象，靈活運用這一思想方法，在不斷運用和體驗中，“一一對應”這一思想方法逐步深入人心，最終內化為學生的數學素養。

二、滲透數形結合思想

著名數學家華羅庚說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事難。”數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。教師有意識地運用數形結合思想進行教學設計，能化抽象為形象，有效提高課堂教學質量。因此，無論是從最開始的導入、比較題，還是三種植樹模型的探究，我都極力滲透給學生一種解決問題的思想方法——數形結合思想。特別是在研究“兩端都種”這一模型時，通過讓學生畫線段圖自主探究，利用數形結合，使學生能清晰直觀地分析棵數與間隔數的數量關系，使得“棵數比間隔數多1”這一規律自然呼之即出，加深了畫圖這種找到規律的方法在學生腦海中的印象，將數形結合這一思想展露得一覽無遺。

三、滲透化繁為簡思想

越是復雜的事情越是可以用簡單的方法化解，往往會取得意想不到的效果。例題出示后，讓學生大膽猜一猜：一共需要多少棵樹苗呢？到底哪種猜想是正確的呢？引導學生通過畫圖驗證。學生通過畫圖強烈感受到“植樹問題”原題的數據比較大，迫切產生了“化繁為簡”的需要；這時再問：數字太大，不便于研究怎么辦？提出可從其中一部分入手研究（強調為研究方便，截取其中的20米），從中發現規律，再用規律解決問題。這樣的教學使學生對“轉化”策略有了深刻的體驗，領悟到了“遇到復雜問題先從簡單數據入手”的方法，將困難的變為容易的，將復雜的變為簡單的，體驗化歸思想。

四、滲透建模思想

《數學課程標準》倡導以“問題情境→建立模型→解釋、應用與拓展”作為小學數學課程的一種基本敘述模式，并已經在教材中體現出按這一模式編寫內容。這是數學新課程體系直接體現“問題解決”教學模式的反映。因此，本節課中，我通過“假設—檢驗—提煉—應用”的過程引導學生掌握“植樹問題”的三種問題模型。在學生感受了植樹問題的解決策略后，設計由植樹問題變式的問題：裝路燈問題、上樓梯問題、鋸木頭問題，并讓學生自己發現生活中的事例，從而使學生意識到植樹問題的模型應用并不局限于植樹的情境，讓學生學會用抽象的數學模型看待類似的問題，感悟到數學建模的重要意義，感受數學思想方法的奇妙與作用。

“數學思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數學思考變成一堆符號讓學生去死記，以至讓美麗的數學淹沒在形式化的海洋里。”（張奠宙）在這一節課中，課堂上出現的這三個例題，也許學生在不久之后就會忘記，但他們在本節課所體驗到的數學思想和數學精神卻深深銘記在頭腦中，并隨時隨地發生作用，使學生終身受益。所以，在課堂教學中，我們不僅要教給孩子知識，更重要的是要充盈孩子的思想，啟迪孩子的智慧，讓我們的數學課堂富有思想。