揭開“阿波羅尼斯圓”的神秘面紗

在高三數學教學中，在復習《直線與圓》這個章節時經常會遇到一些定點定值類的問題，在這些問題中有一種情形就是著名的阿波羅尼斯圓問題，下面我們就來揭開它神秘的面紗.

一、阿波羅尼斯圓定義

在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足■=λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓.這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理.設M，N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=■AB.

二、阿波羅尼斯圓證明

以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.

設AB=2c，則A（-c，0），B（c，0），P（x，y），

由■=λ，得■=λ，

化簡得（x-■c）■+y■=（■c）■，

點P的軌跡是以（■c，0）為圓心，■c為半徑的圓.

三、阿波羅尼斯圓的性質

定理：A，B為兩已知點，M，N分別為線段AB的定比為λ（λ>0，λ≠1）的內、外分點，則以MN為直徑的圓O上任意點到A，B兩點的距離之比等于常數λ（如圖所示）.

證明：以λ>1為例，設AB=a，過B作圓O的與直徑MN垂直的弦PQ，

則AM=■，MB=■，AN=■，BN=■，

由相交弦定理及勾股定理有BP■=MB·BN=■，BP=■，

AP■=AB■+BP■=■，AP=■，故■=λ.

從而，M，N，P同時在到兩點A，B距離之比等于λ的曲線（即圓）上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，因此，圓O上任意點到A，B兩點的距離之比等于常數.根據以上過程，關于阿波羅尼斯圓我們還有如下顯而易見的性質（證明略）.

（1）當λ>1時，點B在圓O內，點A在圓O外；當0<λ<1時，點A在圓O內，點B在圓O外.

（2）因AP■=AM·AQ，故AP為圓O的一條切線.若已知圓O及圓O外一點A，則可作出與點A對應的點B.只要過點A作圓O兩條切線，切點分別為P，Q，連接PQ與AN即交于點B.反之，可作出與點B對應的點A.

（3）過點A作圓O的切線AP（P為切點）后，PM，PN分別為∠APB的內、外角平分線.

四、利用阿波羅尼斯圓解決相關問題

問題1：平面內動點M到定點A（-2，0），B（2，0）的距離之比為■，則動點M的軌跡方程是？搖 ？搖.

點評：由阿波羅尼斯圓定義可知點M的軌跡為以（-■，0）為圓心，■為半徑的圓.軌跡方程為（x+■）■+y■=■.

問題2：已知圓C：x■+y■=9，點A（-5，0），直線OA上（O為坐標原點），存在定點B（不同于點A），滿足圓C上任意一點P，都有■為一常數，求所有滿足條件的點B的坐標.

點評：由題意可知，圓C可以成為以A，B為定點，圓C上動點P滿足■=λ（λ>0，λ≠1）的一個阿波羅尼斯圓.因此可以斷定點B存在且只有一個，而且落在x軸上.

解法一：設P（x■，y■），B（b，0），■=λ（λ>0，λ≠1），

由題意得■=λx■■+y■■=9，

化簡得（10λ■+2b）x■=9+b■-34λ■.

由于P是圓C上任意一點，故10λ■+2b=09+b■-34λ■=0，

解之得b=-■λ=■或b=-5λ=1（舍），

故B（-■，0）.

解法二：利用性質（2）先求以線段AO為直徑的圓：x（x+5）+y■=0；再求此圓與圓C的公共弦所在直線方程，即5x+9=0；最后求直線AO與公共弦所在直線的交點（-■，0）即為所求定點.

問題3：（2008年江蘇高考13題）滿足條件AB=2，AC=■BC的三角形ABC的面積的最大值是？搖 ？搖.

點評：這是2008年江蘇卷第13題，至今仍然在考綱上作為典型題示例出現，可見該題“分量”之足.如果用傳統正余弦定理解題，則運算較繁瑣.仔細審題不難發現△ABC的頂點C的軌跡滿足阿波羅尼斯圓的定義：點C是以A，B為定點，■=■的圓.于是我們可以考慮先求點C的軌跡方程，由于AB的長度為定值，因此只要求出點C到直線AB的最大距離即可.

以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系.

則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），

由題意■=■，

得■=■，

化簡得（x-3）■+y■=8，故點C的軌跡是以（3，0）為圓心，2■為半徑的圓.

故點C到直線AB的最大距離為2■，故三角形ABC的面積的最大值是2■.

問題4：（2011年蘇錫常鎮一模調研18題改編）已知橢圓E：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，且過點P（2，■），設橢圓的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，直線AB被以原點為圓心的圓O所截得的弦長為■，

（1）求橢圓E的方程及圓O的方程；

（2）若M是準線l上縱坐標為t的點，求證：存在一個異于M的點Q，對于圓O上任意一點N，有■為定值.

點評：（1）橢圓E的方程■+■=1，圓O的方程x■+y■=4.（過程略）

（2）解法一：由題意可知，圓O可以看做是以M，Q為定點，■=λ（λ>0，λ≠1）的阿波羅尼斯圓.而且極其重要的一點是由阿波羅尼斯圓定義可知點Q必在線段OM上.

直線OM：y=■x，設Q（a，■a），N（x■，y■），■=λ（λ>0，λ≠1），

由題意得■=λx■■+y■■=4，

化簡得■=λ■.

由于N（x■，y■）是圓O上任意一點，因此■=■=λ■，

消去a得4λ■-（20+t■）λ+（16+t■）=0，解之得λ=■或λ=1（舍），

此時a=■，點Q（■，■）.

解法二：利用性質（2）先求以線段MO為直徑的圓：x（x-4）+y（y-t）=0；再求此圓與圓O的公共弦所在直線方程，即4x+ty-4=0；最后求直線MO與公共弦所在直線的交點即聯列方程4x+ty-4=0tx-4y=0，解得x=■y=■即為所求定點.

五、與阿波羅尼斯圓有關的高考題

1.（2006年四川卷（理）第6題）已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于 B .

（A）π （B）4π （C）8π （D）9π

2.（2008年四川卷（理）第12題）已知拋物線C：y■=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|=■|AF|，則△AFK的面積為 B .

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

3.（2008年江蘇卷第13題）滿足條件AB=2，AC=■BC的三角形ABC的面積的最大值是 2■ .

六、阿波羅尼斯圓的應用

如圖，鐵路線上線段AB=100km，工廠C到鐵路的距離CA=20km.現要在A、B之間某一點D處，向C修一條公路.已知每噸貨物運輸1km的鐵路費用與公路費用之比為3∶5，為了使原料從供應站B運到工廠C的費用最少，點D應選在何處？

此問題可以用阿波羅尼斯圓迅速得到解答，你相信嗎？

解：建立如圖所示的直角坐標系，

先求到定點A、C的距離之比為■的動點P（x，y）的軌跡方程，

即：■=■，整理即得動點P（x，y）的軌跡方程：

4x■+4y■+90y-900=0.

令y=0，得x=±15（舍去正值）即得點D（-15，0），DA=15，DC=25.下面證明此點D即為所求點：

自點B作CD延長線的垂線，垂足為E，在線段BA上任取點D■，連接CD■，再作D■E■⊥BE于E■.

設每噸貨物運輸1km的鐵路費用為3k（k>0），則每噸貨物運輸1km的公路費用為5k，如果選址在D■處，那么總運輸費用為y=3kBD■+5kD■C=（3BD■+5D■C）k，

而△BE■D■∽△BED∽△CAD，∴■=■=■=■，∴3BD■=5E■D■，

那么總費用y=（3BD■+5D■C）k=（E■D■+D■C）5k≥（CD+DE）5k=5kCE，

當且僅當點C、D■、E■共線時取等號.綜上所述，點D即為所求點.

有了對阿波羅尼斯圓的系統認識，我們處理這類問題就更得心應手了.因此，在高三復習備考中，我們要學會對各種題型歸類，深入探究，這樣才能在復習過程中收到事半功倍的效果.