淺析“有解”與“恒成立”問題

在近年的高考中經常出現“有解”與“恒成立”問題，許多同學混淆了這兩個概念，導致解題出錯.現對這兩個概念進行闡述：“有解”是指“至少有一個滿足條件的值使式子成立，則稱該問題有解”.“恒成立”是指“在某一范圍內所有的變量值都使該問題成立，則稱該問題恒成立”，現通過具體問題進行闡述如下.

一、有解問題

例1：方程x■-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，求a的范圍.

分析：方程x■-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，可能有一解，也可能有兩解，討論比較復雜.可通過分離變量a，轉化為求函數的值域求解.

解：x■-a|x|+4=0

當x=0時，方程不成立，因此x≠0，故方程兩邊同除以|x|得

a=|x|+■≥2■=4（當且僅當|x|=2時取到“=”），此時x=±2∈[-2，2].

所以，當a≥4時，方程x■-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解.

點評：本題通過“分離變量a”求值域，方法簡單易行，在以后的學習中經常遇到這一方法.

例2：（2013重慶.理.16）若關于x的不等式|x-5|+|x+3|

分析：要使|x-5|+|x+3|