例說導數在方程及不等式有關問題中的應用

摘 " "要： 運用函數思想，將方程根的問題和不等式成立及求解問題轉化為求函數單調性、極值與最值，再利用導數研究函數性質，從而解決問題.充分體現轉化與化歸數學思想，也滲透多種數學思想方法的運用.

關鍵詞： 導數 " "函數 " "方程 " "不等式

“函數”是整個高中數學的核心，貫穿整個高中數學教學的始終;方程與不等式是高中數學的重要內容之一，函數與方程、不等式之間有著密切的聯系，三者之間的綜合問題能較好地考查學生對數學知識和數學思想方法的掌握情況，以及學生分析問題、解決問題的能力，解不等式恒成立問題時，通常會對不等式進行恒等變形，轉而求有關函數的最值問題.此時，我們經常會遇到其函數并不是我們已學過的基本函數，或是其最值并不能用基本不等式法，復合函數求最值等.然而如果我們能設法畫出其函數的圖像，其最值問題就能迎刃而解，此時導數作為刻畫工具能派上大用場.

例1：已知函數f（x）=kx，g（x）=■，若不等式f（x）≥g（x）在區間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍.

【解析】方法一：由kx≥■，x∈（0，+∞）得k≥■，令h（x）=■，

則問題轉化為k大于等于h（x）的最大值.

又h′（x）=■，∵x>0，令h′（x）>0？圯0

∴當x=■時，f（x）■=f（x）■=f（■）=■，

因此k≥■.

方法二：設h（x）=f（x）-g（x），利用導數求h（x）的最值.

【方法歸納】

利用導數解決不等式恒成立問題的常用思想方法及步驟.

（1）分離參數法：

第一步：將原不等分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題：

第二步：利用導數求該函數的最值;

第三步：根據要求得所求范圍.

（2）函數思想法：

第一步：將不等式轉化為某含待求參數的函數的最值問題;

第二步：利用導數求函數的最值;

第三步：構建不等式求解.

例2：討論方程lnx=x（x■-2ex+m）的根的個數.

【解析】方法一：分離參數m=■-x■+2ex.

方法二：轉化為兩個函數圖像的交點問題■=x■-2ex+m，分別畫y■=■和y■=x■-2ex+m的圖像.

當m>e■+■時，方程無根.

當m=e■+■時，方程只有一個根.

當m

【變式】已知函數f（x）=kx，g（x）=■，當k∈R時，試討論 f（x）和g（x）的公共點個數.

【方法歸納】

利用導數研究高次式、分式、指數式、對數式方程解的個數問題的一般思路：

第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與x軸（或直線y=k）在該區間上交點問題;

第二步：利用導數研究出該函數在該區間上單調性、極值（最值）、端點值等性質，進而畫出其圖像;

第三步：結合圖像求解.

歸納總結：

（1）利用導數研究不等式恒成立問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參數不等式，從而求出參數的取值范圍;也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數最值問題.

（2）使用導數的方法研究方程的根的分布，其基本思想是構造函數后，應用數形結合的思想方法，即先通過“數”的計算得到函數的單調區間和極值，再使用“形”的直觀性得到方程的根的分布情況.