例談一題多解

摘 要： 新課程理念強調學生在積極主動的學習態度下對知識的主動探索、發現，要求教師改變教學方式和課堂知識結構，為學生主動探究搭建平臺.一題多解是調動學生積極性，開發學生潛能，提高學習效率的有效教學活動.

關鍵詞： 自主探究 發散思維 一題多解

新課程理念強調學生積極主動地學習，進而能夠自主學習.倡導建立以“主動參與，樂于探究，交流與合作”特征的學習方式，要求教師在教學中為學生的思維發散提供情景、條件和機會，要有意識地激發學生的靈活性、創造性，使學生在積極主動的狀態中探索，從而培養學生濃厚的學習興趣.一題多解是常用的教學策略.本文以2010年安徽高考數學試題中的圓錐曲線問題為例，提供多樣的解題思路，展示一題多解的魅力.

已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F■，F■在x軸上，離心率e=■.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求∠F■AF■的角平分線所在直線l的方程.

命題意圖：本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線的點斜式方程與一般方程，平面向量的應用，點到直線的距離公式，到角公式，角平分線性質及三角形的內角平分線性質等基礎知識，考查解析幾何的基本思想及綜合運算能力.

解法指導：（Ⅰ）的解法省略，所求橢圓E的方程是■+■=1.

（Ⅱ）思路一：根據題意，直接設所求直線l的方程為：y-3=k（x-2）.可求直線l與x軸的交點B的坐標.由（Ⅰ）易得直線AF■和AF■的方程分別為3x-4y+6=0和x=2，根據角平分線性質，點B到直線AF■和AF■的距離相等可解斜率.由點A在橢圓E上的位置如圖可知k>0，則k=2.因此，所求直線l的方程為：2x-y-1=0.

思路二：在思路一的基礎上，如果考慮到將所求具體一點B變為所求直線l上任意一點P（x，y），則點P（x，y）滿足的方程即為所求直線方程.根據角平分線性質，點P到直線AF■和AF■的距離相等可以解斜率，整理易得直線l的方程為：2x-y-1=0.

思路三：如果設∠F■AF■=θ，所求直線斜率為k，考慮到焦點三角形面積公式亦可展開求解思路.

思路四：在思路三的基礎上，設所求直線斜率為k，則k=tan∠ABF■.如果考慮到△AF■B為直角三角形，則∠ABF■與∠BAF■互余，也可以求出k=2.

思路五：如果設B（x，0），根據通徑易知AF■=3，由橢圓第一定義可知AF■=5，考慮到三角形內角平分線性質，解得直線與橫軸的交點，進而求得斜率.

思路六：如果考慮到平面向量的相關知識，易知■和■的同向單位向量的和向量恰好為所求直線l的方向向量也可以求解直線的方程.

思路七：由于△F■AF■為直角三角形，因此∠F■AF■的角平分線所在直線l經過△F■AF■的內心，易求其內心坐標（1，1），由直線的兩點式方程得l的方程為：2x-y-1=0.運用此方法聯系平面幾何的知識，簡便易懂.

在教學過程中不難發現：對同一個問題，引導學生從不同的角度思考分析，發現不同的思路和方法，對鍛煉學生思維的靈活性，培養和發揮學生的創造能力，貫通知識的縱橫聯系，提高綜合運用知識的能力和解題技巧效果顯著.