“課題學習之最短路徑問題”的進一步探討

摘 要：介紹了對幾種最短路徑從定性解決到量化解決的結論，應用此類結論可以更方便、快捷地計算出最短路徑和解決選點的定量問題，達到了幾何問題代數化的目的。在舉例應用各結論時，特地以近年中考題為主。

關鍵詞：對稱軸；最短路；造橋選址；一次函數

2012年開始，人教版初中數學教學開始使用新版教材了，新教材的一些章節和內容都作了調整，其中八年級上冊數學教材中第85頁到87頁有一節課是“13.4課題學習 最短路徑問題”，文中列舉了兩個定性式的問題。

問題1：（也稱最短路徑問題）如下圖1，牧馬人從A地出發，牽著馬到一條筆直的河去飲水，然后返回到B地，問到河邊的什么地方飲水，可使牧馬人所走的路徑最短？

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圖1 圖2

本例題要求在直線上找到一點，使得該點和直線同側的兩個定點之間的距離之和最短，并利用“兩點的所有連線中，線段最短”得以論證，見圖2（詳細過程略）。

而問題2講述的是造橋選址問題。如圖3所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使A到B的路徑AMNB最短？

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圖3 圖4 圖5

問題2的特征是，由2個定點（端點）展開，在2條平行的直線上，尋找2個動點，使得由2端點和2中間點構成了3條線段長度之和達到最小值，實質還是尋找最短路徑。要讓問題2中的3條線段長度之和達到最小值，由于中間1條線段的長度是固定的，其實只需考慮另外2條動線段的長度之和達到最小即可。問題2類型題在解題時需要利用軸對稱、平移等變化，從而做出最短路徑的選擇，見圖4、圖5顯示（詳細過程略）。

在八年級上冊的教學中，要求讓學生掌握最短路徑的選擇和幾何論證就行了，但在解決實際路徑問題時或者中考時出現的問題中，往往都牽扯到具體的計算和求值，需要結合勾股定理或者坐標值的計算等等，從而做出定性加定量的結果。但在學習“課題學習 最短路徑問題”章節時，學生還沒有學到勾股定理等內容，故而教材書暫時沒有安排計算。

在八年級下學期學生學完了勾股定理、平行四邊形和一次函數的章節后，在復習和總復習階段，我認為有必要把上學期本章節的內容再回顧和深入地探討一番，我鼓勵學生在回顧和探討的過程中，能夠整理出關于定量地計算對稱問題的方法和公式?，F就一些結論和大家分享一下。

一、引入坐標值，幾何問題代數化，解決類似教材問題1的中考試題

新的教材中只強調了點（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；點（x，y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）。故對于具體的最短路徑的計算則在學了勾股定理和一次函數的相關知識之后，在學期末的復習課期間我就讓學生嘗試推導如下公式，進行最短路徑的定量計算：

結論1：如果兩個點A（x1，y1），B（x2，y2）在x軸的同側，則在x軸上可以找得到點P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■。

點P的坐標，可用待定系數法求一次函數的解析式求出過點A和B點對稱點B′（x2，-y2）的一次函數（y=■x+■）（x1≠x2），再通過一次函數與x軸的交點的縱坐標為0的特征，即可求出點P坐標為（■，0）（見圖6）。特別地，當x1=x2時，AB和y軸平行，此時點P坐標為（x1，0）。

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圖6

結論的得出與證明非常簡單，就是直接套用勾股定理和用待定系數法求解一次函數解析式的方法就可以了。限于篇幅，這里不詳述了，下面著重講講運用。

例1.如圖7所示，已知點A（1，1），B（3，2），且P為x軸上一動點，則△ABP周長的最小值為 。

解：由于AB長度是固定的，為AB=■=■，故要使△ABP周長最小，只需要PA+PB之和最小，就可以用用結論1的最短路徑的計算公式，可得d=■=■=■，所以△ABP周長的最小值為■+■。

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圖7 圖8

例2.（2014年齊齊哈爾初中學業考試第23題）如圖8所示，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點。點P是x軸上的一個動點。

（1）求此拋物線的解析式；（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標。

解：（1）略

（2）因為A（1，4），點B（0，3）且點A和點B都在x軸的同側，所以帶入結論1中求P點橫坐標的公式可得：

■=■=■

例3.如圖9、圖10所示，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是（ ）

A.3 B. 4 C.5 D.6

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圖9 圖10

解：以菱形的對角線交點為原點建立平面直角坐標系，則點E坐標為（-■，-2），點F坐標為（■，-2），且E點和F點都在x軸的同側，則把坐標值代入路徑最短公式d=■=5，故選C。

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圖11 圖12

例4.如圖11、圖12所示，MN為⊙O的直徑，A、B是圓上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是 。

解：以圓心O為原點建立平面直角坐標系，連接OA和OB，則點A坐標為（6，8），點B坐標為（-8，6），則把坐標值代入路徑最短公式d=■=14■。其實前述求法，可以應用到求解函數f（x）=■+■的最小值。

例5.求解f（x）=■+■的最小值。

解：∵f（x）=■+■，把求f（x）的最小值，看作是在x軸上找一點P（x，0），使得P到x軸上方的A（5，1）和B（2，3）距離之和PA+PB最小。

∴d=■=5。此外，還可以通過把x軸換成y軸，可以類似地應用勾股定理和一次函數的知識得到如下結論。

結論2：如果兩個點A（x1，y1），B（x2，y2）在y軸的同側，則在y軸上可以找得到點P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■ 。

點P的坐標，同樣用待定系數法求出過點A和B點對稱點的一次函數y=■x+■（y1≠y2），再通過一次函數與y軸的交點的橫坐標x=0的特征，求出點P坐標為（0，■）。特別地，當y1=y2時，AB和y軸平行，此時點P坐標為（0，y1）。

例6.（2014·莆田中考第15題）（4分）如圖13、圖14所示，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是 。

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圖13 圖14

解：還是以菱形的對角線交點為原點建立平面直角坐標系，則可計算出點B坐標為（-2■，0），點E坐標為（■，1），且B點和E點都在y軸的同側，所要求的F點在y軸上，故要使得EF+BF的最小值，只需把相應的坐標值代入路徑最短公式進行計算即可：d=■=2■。

結論3：如果兩個點A（x1，y1），B（x2，y2）在直線y=b的同側，則在直線y=b上可以找得到點P，使得PA+PB最短，最短距離為 。

點P坐標的求法，類似地，可以求出過點A和B點對稱點的一次函數y=■x+■（x1≠x2），點P坐標為（■，b）。特別地，當x1=x2）時，AB和y軸平行，此時點P坐標為（x1，b）（形式上類似把結論1中的y用（y-b）代替）。

例7.如圖15所示，在平面直角坐標系中，有A（1，2），B（3，3）兩點，現另取一點C（a，1），當a= 時，AC+BC的值最小。

解：把b=1代入p點的橫坐標■，即可求出a=■=■。

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圖15 圖16

結論4：如果兩個點A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x=a的同側，則在直線x=a上可以找得到點P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■。

點P坐標的求法，類似地，可以求出過點A和B點對稱點的一次函數y=■x+■（y1≠y2），再通過一次函數與y軸的交點的橫坐標x=0的特征，求出點P坐標為（a，■）。特別地，當y1=y2時，AB和y軸平行，此時點P坐標為（a，y1）（形式上類似把結論2中的x用（x-a）代替）。

例8.（2014年梅州市中考第23題）如圖16所示，已知拋物線y=■x2-■x-3與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C。

（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標（本題有刪減）。

解：（1）略

（2）因為對稱軸為x=-■=1，C點的坐標為（0，-3），D點的坐標為（-2，0），故M點的橫坐標為1，縱坐標為-■=-■，M點坐標為（1，-■）。

由于八年級學生沒有學過圖形相似和三角函數，故在復習過程中，我沒有帶領學生進一步探討關于一般直線的同側兩點在該直線上找P點的最短路徑問題。相信到了九年級仍然可以對此類問題作進一步的探討。

二、解決類似教材問題2的解決方案

問題2可以歸結為已知A點（x1，y1）和B點（x2，y2），中間過河的寬度為h，可以考慮把B點上移至E點，從而把問題轉化為求E點到A點的最短路徑問題，仍然可以用結論1中的方式去求解。

例9.在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；

（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

■

解：（1）根據圖示和已知可得點D坐標為（0，2），點C坐標為（3，4），從而用結論1的計算公式可以得到E點的橫坐標為：

■=■=1，故E點的坐標為（1，0）。

（2）D點坐標不變仍然為（0，2），但根據題意，需考慮把C點向左平移2個單位并且轉化為類似問題（1）的情形，這時它的坐標為（1，4），用前述公式計算E點的橫坐標為■=■=■，

故E點的坐標為（■，0），而F點的坐標相當于E點右移2個單位，所以為（■，0）。

三、后記

通過歸納和總結，即讓學生溫故知新，又學以致用；即提高了數形結合、幾何問題代數化的思路，也達到了對“課題學習”的進一步深入探索和總結。學生也感覺收獲良多，筆者認為這過程也是對學習新教材的“課題學習”本身的一種很好詮釋。

參考文獻：

[1]朱啟州，張興俠.一道課本例題的教學探討.中學數學教學參考，1999（4）.

[2]戴向陽.動點下的線段最值解法探微.中學數學教學參考，2014（3）.

作者簡介：曾志貴，男，學歷：研究生，就職于廣州市新穗學校，研究方向：數學教學方面。