復合函數的導數在教學中的思考

【摘要】導數是微分學中的重要概念，不但導數的應用非常廣泛，而且導數定義在極限計算、導數計算、證明題等很多方面也占有非常重要的地位。本文從復合函數的求導法則出發，討論了外函數y＝f（u）、內函數u＝g（x）以及復合函數F（x）＝f［g（x）］三者導數的存在性問題。

【關鍵詞】復合函數求導法則導數連續

【中圖分類號】O221.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）08－0088－02

導數是微積分中的重要基礎概念，導數的計算、導數的應用都是微分學研究的主要問題之一。利用導數我們可以討論函數的單調性、連續性、極值問題等。導數實質上就是一個求極限的過程，導數定義本身的應用也是一個比較重要的問題。十七與十八世紀的數學家們常把自己的數學活動與各種不同自然領域（物理、化學、力學、技術）中的研究活動聯系起來，并由實際需要提出了許多數學問題。歷史上，導數概念產生于以下兩個實際問題的研究：（1）曲線的切線問題，這是一個非常古老的問題，可以追溯到希臘著名的科學家阿基米德；（2）求非勻速運動的速度，它最早是由開普勒、伽利略、牛頓等提出來的。具體應用背景應掌握幾種常見的物理量的描述，即速度，速率包括藥物的反應速率、水庫泄水速率、液體揮發速率、冰雪融化速率等，所以這些現象均可借助導數來刻畫。

引理1如果u＝g（x）在點x0處可導，而y＝f（u）在點u0＝g（x0）處可導，則復合函數y＝f［g（x）］在點x0處

也可導，且其導數為 。

引理1不僅告訴我們如果外函數和內函數都可導，則它們的復合函數也可導，而且還給出了復合函數的求導公式，從而使可以求得導數的函數范圍得到很大的擴充。

本文將從引理1出發，進一步討論外函數y＝f（u）、內函數u＝g（x）以及復合函數F（x）＝f［g（x）］三者的導數存在性問題。

問題1：若y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導，u＝g（x）在x0處不可導，則F（x）＝f［g（x）］在x0處是否可導？

解答：有可能可導，也有可能不可導。一方面，我們可以令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，但是F（x）＝f［g（x）］＝x2在x＝0處導數存在。即y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導，u＝g（x）在x0處不可導，則F（x）＝f［g（x）］在x0處可導。另一方面，令f（u）＝u，u＝g（x）＝| x |，則f（u）＝u在u0＝g（0）＝0處可導，u＝g（x）在x0＝0處不可導，且F（x）＝f［g（x）］＝| x |在x0＝0處不可導。

在問題1的基礎上我們繼續考慮以下問題：

問題2：若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導，外函數y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導，則內函數u＝g（x）在x0處是否一定可導？

解答：不一定。我們同樣通過構造兩個例子來說明。（1）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，F（x）＝f［g（x）］＝x2，顯然，F（x）在x0＝0處可導，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0處可導，但是u＝g（x）在x0＝0處不可導。（2）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝x，F（x）＝f［g（x）］＝x2，則F（x）在x0＝0處可導，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0處可導，且u＝g（x）在x0＝0處也可導。

下面的定理將進一步回答問題2中的問題。

定理1，若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導，外函數y＝f（u）在u0＝g（x0）處可導且f'（u0）≠0，g（x）在點x0

處連續，則g（x）在點x0處一定可導且 。

證明：因為g（x）在點x0處連續，所以 ，

即 ，于是：

證畢。

注：如果沒有g（x）在點x0處連續這個條件，定理1中的結論是不一定成立的，這在問題的回答中已經說明了這一點。

與定理1類似地，我們可以得到以下結論。

定理2，若F（x）＝f［g（x）］在x0處可導，內函數g（x）在點x0處可導且g'（x0）≠0則外函數y＝f（u）在u0

＝g（x0）處可導且 。

證明：由g'（x0）存在，有 。

再由F（x）＝f［g（x）］在x0處可導知，

＝F'（x0）。

則：證畢。

參考文獻

［1］陳傳璋、金福臨、朱學炎等.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，2002

［2］歐陽光中、姚允龍、周淵.數學分析［M］.上海：復旦大學出版社，2003

［3］賀自樹、劉學文、杜昌友等.數學分析習題課選講［M］.重慶：重慶大學出版社，2007

〔責任編輯：李錦雯〕