數學模型在高等數學教學中的引入與應用

【摘要】高等數學是理工科高等院校的公共必修基礎課，在整個本科教學體系中占有極為重要的地位。本文通過總結教學實踐中的經驗，探討了如何在高等數學教學中引入數學模型，豐富教學內容和教學方法，提高教學質量。

【關鍵詞】數學模型數學思想高等數學

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）08－0062－02

高等數學是理工科高等院校的公共必修基礎課。通過該課程的學習，學生可以掌握數學的基本理論和思想方法，提高自身的邏輯思維能力和辯證思維能力，為后續的數學類課程和其他理工專業課程的學習奠定必要的數學基礎。

高等數學的核心內容是微積分，課程內容繁多，并且知識結構嚴密穩定，這使得該課程需要較多的課時。但我校跟其他大部分院校一樣，在近年來的教學改革中，對公共基礎課做了較大的調整，將高等數學的課時縮短將近1/3。為了完成理論內容的教學，不少教師無奈地采取說教式的教學方法。由于這種的教學方法缺少啟發性，造成學生既無法感受到數學學習的意義，進而逐漸失去學習的興趣，又因為得不到充分的思維鍛煉，無法靈活運用所學的知識。這使得高等數學無法實現其真正的價值。如何在有限的課時內，讓學生真正地學到數學知識，得到思維鍛煉，是一個值得深思的問題。

筆者通過理論學習和總結自身的教學實踐經驗，發現通過在教學中引入數學模型，是解決上述的問題的一個行之有效的方法。高等數學中的許多概念，如極限、導數、積分、級數、微分方程等，都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。這些數學模型都具有深刻的背景，來自不同的學科領域。如果能在教學中很好地利用數學模型，學生就能較好地理解相關的概念、定義和定理，能夠真正接觸到數學在所學的相關專業中的應用。這將進一步調動學生應用相關的數學知識分析、解決實際問題的積極性，激起學生把所學的數學知識和數學方法運用到實際問題之中的渴望，產生學習參與感，從而激發學生學習數學的興趣。學生學習興趣提高了，教學互動就自然進展順利，進而提高教學效果。那么，應該如何在高等數學課程中引入和應用數學模型呢？筆者在此提出以下三點想法。

一 充分利用經典模型，強調數學概念的背景和意義

現有的高等數學教材中，都包含了大量的經典模型，其中大部分都可以作為教學所需的素材。只要充分利用素材，就可以得到很好的教學效果。這其中的關鍵在于，在利用這些模型引入數學概念時，不能只是把它簡單地看成是一個自然的引入過程，必須在學習的過程中重點強調模型的背景和意義。這樣，學生才能對相關概念有一個更深刻、具體、形象的理解。以導數的概念為例，它是可以通過兩個經典的例子引入：瞬時速度和切線斜率，如果只是簡單地通過講述這兩個例子，指出導數的本質就是“變化率”，那么學生可能更多的只是知道導數的本質是“變化率”，但變化率又是什么呢？最終的結果就是學生得到了一個抽象概念的抽象理解而已。但是，如果能集中時間，利用瞬時速度引入導數的概念，并且強調導數就是“速度”，就可以讓學生得到導數的一個具體形象的理解。這樣的理解，對后續課程的學習也大有助益。在講述費馬引理時，只需要提醒學生，想象一輛往前走的車，在往回走之前，位移和速度應該怎么變化，學生就可以得到這樣的結論：車要在位移最大的地方掉頭，此時速度為零，也就是在該點處函數值取極值，而導數為零。同樣地，在利用導數判斷函數的單調性時，提醒學生導數大于零意味著速度是正的，位移就會增加，此時函數是單調遞增的，反正亦然。這樣教學既可以節省課時，又可以加深學生的理解。

二 針對學科特點，適當引入新模型

在高等數學的教材中，關于微積分的應用，也有大量的實際例子，這些例子都可以看成是數學模型。但是這些模型大部分都來自數學本身或物理，對其他專業的學生而言，既乏味又對專業學習沒有任何幫助。開普勒定理就是其中的典型，雖然可以向學生展現微積分在實際應用中的威力，但是也有學生感嘆：很厲害的想法啊，可惜在幾百年前就用過了，到現在還有其他用處嗎？因此，非常有必要針對不同的學科，適當引入新模型。以微分方程的應用為例，可以對學習經管的學生引入描述GDP增長的微分方程模型，對學習動物養殖的學生引入畜牧業的微分方程模型。筆者在教學中發現，通過這樣的調整，既豐富了教室內容和教學手段，還極大地提高了學生的學習興趣，教學過程輕松了，教學效果也更明顯。

三 強調建模思想，加強思維鍛煉

高等數學的學習，最重要的是對學生進行思維鍛煉。在教學中引入數學模型，不能停留在引入本身，還要引導學生參與建模的過程。學生通過合理假設將實際問題轉化為數學問題，在得到結論后，再利用實際問題的數據對所得結論進行檢驗。根據檢驗結果對假設進行調整，進一步優化模型。在此過程中，學生通過發揮主觀能動性，積極、主動地綜合運用數學知識及方法解決問題。一般來說，根據不同的假設，可能得到不同的結果，所以數學模型幾乎都不可能是完美的。因此，在引導學生建立模型的過程中，要時刻提醒學生，目的不是得到模型本身，而是在于檢驗提出的假設是否合理，如何不斷調整假設，以得到合理的模型的過程。如前面所述，關于畜牧業的微分方程模型，影響因素多種多樣，如何判斷哪些因素是關鍵的，針對這些因素，如何合理假設，自身的能力可以研究哪些因素，都是需要引導學生思考的。只有通過這樣的過程，學生才能真正得到思維鍛煉，達到引入數學模型的根本目的。

參考文獻

［1］同濟大學數學系.“十二五”普通高等教育本科國家級規劃教材：高等數學（第六版）（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007

［2］姜啟源、謝金星、葉俊.數學模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003

〔責任編輯：范可〕