二次函數在高中數學中的應用

初中教材已經很詳細地介紹了二次函數的相關知識，但是由于初中生的基礎薄弱，理解能力及接受能力有限，對二次函數這部分內容的學習大多是機械的，難以有本質上的理解。到了高中，二次函數是作為學習函數的媒介，并在高中數學中貫穿始終，其豐富的內涵和外延引導著我們學習函數的所有性質。不過，概括起來也就是以下幾點。

用集合語言表述函數的概念

自由落體運動，用關系式來描述了運動觀點（初中概念）。時間t為自變量，距離s為因變量，時間t在某個范圍內變化，距離s也相應地在某個范圍內變化，距離s是時間t的函數。集合觀點（高中概念）：設非空數集A，對任意數x∈A，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，則這種關系叫做集合A上的一個函數，記作y=f（x），x∈A，集合A叫做函數的定義域。應用這些函數符號，可以解決如下問題。

例1.已知函數f（x）=x2，求f（x+1）。

分析：主要理解題目的意思為，自變量的取值為x+1時的函數值。

解：f（x+1）=（x+1）2=x2+2x+1

例2.已知f（x+1）=x2，求f（x）。

分析：這道題目可以理解為x+1對應的函數值為x2，求x對應的函數值。也就是說，這道題的本質是求對應法則。

解：方法一，換元法。

令t=x+1，則x=t-1。

f（t）=（t-1）2=t2-2t+1

所以f（x）=x2-2x+1

方法二，配湊法。

f（x+1）=[（x+1）-1]2=（x+1）2-2（x+1）+1

用x代替x+1

所以f（x）=x2-2x+1

學習函數的性質

學生在初中通過二次函數的圖象學習了函數的最值、對稱性；在高中則有了嚴格的推理、論證，再結合圖象，充分認識二次函數的單調性、奇偶性、最值。

例3.已知函數f（x）=x2+2x+3，求函數在下列給定區間上的最值：

①x∈[-6，-5]②x∈[-4，0]

③x∈[1，2]

分析：必須清楚函數在給定區間上的單調性。

解：因為拋物線開口向上，對稱軸是x=-1。①函數在區間[-6，-5]上單調遞減，當x=-6時，函數有最大值為f（-6）=27，當x=-5時，函數有最小值為f（-5）=18。②函數在區間[-4，0]上先減后增，在對稱軸處取得最小值，最小值為f（-1）=2，由于-4離對稱軸較遠，所以在x=-4處取得最大值，最大值為f（-4）=11。③函數在區間[1，2]上單調遞增，當x=1時，函數有最小值f（1）=6，當x=2時，函數有最大值f（2）=11。

二次函數的思維延伸

二次函數本身的性質學習是相當簡單的，因此，二次函數在高中最主要的是其思維的延伸。

例4.解下列方程。

②52x-6×5x+5=0

分析：這兩道題主要通過換元法變形為一元二次方程的問題，但需要注意還原時的自變量的取值范圍。

解：①令，則。整理，得t2+3t-4=0解得t=1或t=-4，即lgx=1或lgx=-4。所以x=10或x=10-4

②令t=5x，t>0。則t2-6t+5=0，解得t=5或t=1，即5x=5或5x=1。所以x=1或x=0

例5.求函數的值域。

分析：通過換元，可以轉化為二次函數在閉區間上的最值問題。

解：原函數變形為：。令，則，開口向上，對稱軸為

所以在對稱軸處取得最小值為，在t=8時，有最大值為57。

故原函數的值域為。

進一步用二次函數解決實際問題

例6.某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為400元，每桶水的進價是4元。銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示：

請根據以上數據做出分析，這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤？

解：由表可知，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少50桶。

設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，而在此情況下的日均銷售量就為490-50（x-1）=540-50x（桶）

由于x>0，且540-50x>0，即0

開口向下，對稱軸為x=5.4，此時y有最大值。所以，只需將單價定為9.4元，就可獲得最大利潤。

解二次函數應用題的步驟為：①設置未知數，明確自變量和因變量；②找到等量關系，列出函數表達式；③利用二次函數的知識，在自變量的范圍內求解；④寫出實際結果。

在初中數學的基礎上，進一步學習高中數學，是一個從直觀到抽象，從形式到模式的過程。二次函數的知識很廣泛，有豐富的內涵和外延，通過二次函數的學習可以建立起學習函數的一種模式和方法。

（作者單位：內蒙古自治區阿拉善盟第一中學）