高中數學教學中的“舉一反三”

為適應新課標的理念，讓學生在高考中考出理想成績，作為現行教育制度下的高中數學教師，筆者認為，合理地將知識分解、融會貫通并能運用于解題中是教師們應急切探究的出路。為此，在教學中進行了“舉一反三”的嘗試后，筆者感受到它既能讓學生通過建模找到解題中的定式，又能激發學生探究的靈感，給筆者的教學帶來出乎想象的收獲。既要“舉一”，又要“反三”，筆者認為應該從以下方面來看待此問題。

一題多解

一題多解，即一道題目有多種途徑可以解決。比如，在《立體幾何》中的證明問題，可以用空間圖形解決，也可以用代數的方法即空間向量來解決。例一：如圖，已知ABCD為矩形，AD=2AB，F分別是線段BC的中點，PA⊥平面ABCD。求證：DF⊥平面PAF。

方法一：要證明DF⊥平面PAF，只需證明DF⊥PA且DF⊥AF，易證PA⊥DF；而證明DF⊥AF，有兩種途徑可選：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代數方法）；其二：可利用角的關系證明∠AFD=90°（幾何方法）。方法二：（空間向量坐標法）可利用AB、AD、AP兩兩互相垂直，滿足建系的要求；設出AD的長度，就可以寫出各個點的坐標，利用向量數量積為零，可得直線間的相互垂直，從而得到線面垂直。

又如，證明三點共線的問題，可以通過證直線斜率相等、向量相等、點在直線上等多個方法解決。例二：求證三點A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共線。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共點A，所以三點共線；方法二：向量法。易得，所以共線，又AB與AC有公共點A，即A、B、C三點共線。方法三：點在直線上。易得直線AB的方程，然后將C點坐標代入驗證即可。

一題多變

一題多變，即一道題目，多種變式，借題發揮。如在學習拋物線后，在習題中出現了以下一題。例三：過拋物線y2=2px焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-P2。（設線段AB為過拋物線焦點的弦）此題證明并不難，但其結論卻很有用，關鍵是運用其結論。在布置此題給學生時，教師可以有針對性的演變，如變成以下3種證明。①證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線，三點共線。②證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。③證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結線段，等于焦點弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

一題多答

一題多答，即一道題目，多人作答，多種切入點。每個學生都有自己獨特的思維方式，他們解決問題的角度和順序均有不同，哪一種方法更適應自身，那才是最好的解答方法。例如，在解絕對值不等式中，就有好多學生有不同的思路，切入點不同，但取得的效果都很棒。通過解題，讓學生們從不同角度認識了絕對值不等式的真實含義。以下就是筆者在教學中遇到的一個實例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

學生甲：根據絕對值的定義，觀察數軸；如圖，實數x，-2，1在數軸上對應的點分別為P，A，B，可知：只有當x不在（-2，1）的范圍內，均能使得不等式成立。

學生乙：做出函數y=∣x+2∣+∣x-1∣圖像，觀察圖像得到解集；

學生丙：根據分類討論，用零點分段法。先討論函數y=∣x+2∣+∣x-1∣的零點，零點可以將整個定義域分為三個區間：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函數可以改寫成分段函數：，即可分三類討論，最后求出并集即為解集。

一題多思

一題多思，即一道題目，多次反復思考，觸類旁通。顧名思義，所謂“一題多思”，就是在解好一道題后不能認為一切任務均已完成，而是要對這道題再進行多方向、多角度、多層次的思考和研究。看看除此種解法外，是否有其它解法；想想若將本題推廣（或“收縮”）能得到什么結論；試試如把這題的題設、結論換一換，或是將題型變一變，又將得到什么結論。例如：試證以橢圓的焦點的弦為直徑的圓必和橢圓相應的準線相離。證完這題后，可進一步引導學生分析和思考：把題目中的條件“橢圓”改為“雙曲線”、改為“拋物線”，結論會又有何變化？學生在這三題的證明過程中發現，在不同曲線下可得不同的結論，橢圓是相離，拋物線是相切，雙曲線是相交，看似不同的題目方法卻都是相同的，都根據圓錐曲線的定義來證。

（作者單位：內蒙古自治區阿拉善盟第一中學）