數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)教育中的案例

數(shù)學(xué)語言包含文字、符號、圖形三種，是在數(shù)學(xué)思維中產(chǎn)生和發(fā)展的，又是數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具。在一定意義上，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”。圓錐曲線教學(xué)圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線）是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。作為語言的載體，圓錐曲線語言呈現(xiàn)出文字語言美、符號語言美、圖形美三方面。

1.文字表述美

圓錐曲線中對概念、性質(zhì)的表述，文字準確、簡明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。如，橢圓的定義簡練、嚴謹，內(nèi)涵豐富，一字之差則情況相差萬里。若無“在平面內(nèi)”則形成一個橢球；而無“大于 ”則形成線段或作不出任何圖形。每詞、每句相互作用、聯(lián)系，構(gòu)成了其定義的完美描述，是數(shù)學(xué)的簡潔美的充分體現(xiàn)。用凝練的語言概括出豐富的內(nèi)容，外表簡單而內(nèi)在意義深遠，這也是數(shù)學(xué)語言形式美與內(nèi)在理性美的表現(xiàn)。

2.符號語言美

橢圓與雙曲線的標準方程具有簡單整齊之美，而拋物線標準方程則出現(xiàn)了奇異美（不是關(guān)于x，y的二次方程）。又如雙曲線概念的集合語言表示為：

言簡意賅，精煉準確。離心率 把三種圓錐曲線的幾何共性統(tǒng)一起來，通過極坐標方程 將圓錐曲線的方程統(tǒng)一了起來，表現(xiàn)出外在形式的極為簡潔性。

3.圖形語言美

圓錐曲線的圖形具有簡明性、對稱性、概括性和趣味性。三種曲線都可用實物操作得到，也可演示相關(guān)的課件，形象、直觀，妙趣橫生。比如，雙曲線的漸進線宛如一雙蝴蝶的翅膀從天邊而來又飛向天邊去—欲達而不能，這不知會激起多少學(xué)子的遐思邇想；此時再看橢圓和拋物線，又會讓你心胸開闊，都關(guān)于坐標軸及原點對稱，具有對稱美，拋物線則只關(guān)于一條坐標軸對稱，奇異美更顯突兀。

4.方法美、邏輯美

圓錐曲線以坐標為出發(fā)點，以曲線的方程和方程的曲線為源泉，澆構(gòu)了幾何與代數(shù)緊密結(jié)合的解析幾何的藝術(shù)精品，使學(xué)生進入到形中有數(shù)，數(shù)中有形的數(shù)學(xué)美境；其又以定義和性質(zhì)為重點，以靈活應(yīng)用為最終目的，知識脈絡(luò)清晰，錯落有致，系統(tǒng)有序，對問題的研究抓住重點，類比展開，終以 統(tǒng)攝全局，使圓錐曲線形成了不可分割的統(tǒng)一體，充分展現(xiàn)了其知識結(jié)構(gòu)的和諧美、邏輯美。數(shù)學(xué)是客觀世界經(jīng)過人類精神加工的理性創(chuàng)造物。源于數(shù)學(xué)美的考慮，在求曲線的方程時，建立的坐標系都對稱和諧，受數(shù)學(xué)美的驅(qū)使。在推導(dǎo)雙曲線的方程時，首先得到：

，

這是雙曲線的方程。但因為它不符合數(shù)學(xué)美的要求，因此，必須進一步簡化，得到，①

將兩邊平方整理得： ，該式雖比前一式簡潔多了，但還未能達到數(shù)學(xué)美的最高境界。故想到補美的思想，令 ，且b>0，則有：

同時，①式也可以變形為：

這樣就把雙曲線的兩種定義聯(lián)系起來了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的方法功能，反映出統(tǒng)一美和邏輯美，這也是人的本質(zhì)力量的再現(xiàn)。可見，教學(xué)中善于挖掘數(shù)學(xué)美，積累數(shù)學(xué)美的素材，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)美的體驗和情感，具有優(yōu)化教學(xué)、促進學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的重要教育價值。但這也對教師提出了很高的要求，教師必須加強美學(xué)修養(yǎng)，科學(xué)設(shè)計教學(xué)過程。如對橢圓標準方程的推導(dǎo)，從坐標系的建立到標準方程的形成，處處都閃耀著數(shù)學(xué)美的思想，這就需要通過過程教學(xué)，在過程中讓學(xué)生體驗、感受數(shù)學(xué)美的真諦。否則，學(xué)生面對方程只會感到是一些符號的堆積。