高考中的幾何概型

幾何概型是一種重要的概率模型，在近幾年的高考試題中均有出現。解決幾何概型問題首先要明確幾何概型的定義，掌握幾何概型當中事件的概率公式，其次要學會構造隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率。下面舉例說明幾何概型在高考中的考查。

一、與長度有關的幾何概型

例1、[2012年遼寧卷]在長為12cm的線段AB上任取一點C. 現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為

（A） （B）（C）（D）

【答案】C

【解析】設線段AC的長為 cm，則線段CB的長為（ ）cm，那么矩形的面積為 cm2，

由 ，解得 。又 ，所以該矩形面積小于32cm2的概率為 ，故選C

【點評】本題主要考查函數模型的應用、不等式的解法、幾何概型中長度的計算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。

二、與面積有關的幾何概型

例2、[2012·湖北卷] 如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）

A. 12－1πB. 1π C．1－2πD. 2π

[解析] 如圖所示，不妨設扇形的半徑為2a，記兩塊白色區域的面積分別為S1，S2，兩塊陰影部分的面積分別為S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝ ＝14π（2a）2＝πa2①，

而S1＋S3與S2＋S3的和恰好為一個半徑為a的圓的面積，即S1＋S3＋S2＋S3＝πa2②.

由①－②得S3＝S4；

又由圖可知S3＝ ＋ ＝12πa2－a2，

所以 ＝πa2－2a2.

故由幾何概型概率公式可得，所求概率P＝ ＝ ＝1－ .故選C.

例3．[2012·北京卷] 設不等式組 表示的平面區域為D.在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（）

A. π4 B. π－22C. π6 D. 4－π4

[解析] 本題考查了線性規劃、圓的概念、圓的面積公式以及幾何概型公式等基礎知識．

如圖所示， 故選D.

三、與體積有關的幾何概型

例4、[2011長沙模擬]在棱長為2的正方體 中，點 為底面 的中心，在正方體 內隨機取一點 ，則點 到點 的距離大于1的概率為。

解析：點 到點 的距離大于1的點位于以 為球心、以1為半徑的半球外。記點 到點 的距離大于1為事件A，則：

四、與角度有關的幾何概型

例5、在 中， ，過直角頂點 作射線CM交線段AB于M，求使得 的概率。

解：如圖：設事件D為“作射線CM，

使得 ”，在AB上取點 使 ，

因為 是等腰三角形，

所以 ，所以

【點評】由于CM落在 內的任意位置是等可能的，若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的。此題學生最容易當成長度概率。