初中數學解決二次函數問題的關鍵思路研究

【摘要】北師大版的初中數學教材的特點是在每一章節前都有章前圖，章前圖時具有引領教學的作用。北師大版的初中數學教科書將噴泉的水流所經路線和籃球入籃中的曲線設置為章前圖，這樣能夠激起學生對二次函數的學習興趣，讓學生們帶著一系列的問題進入課堂。數學老師在教學過程中對二次函數的解題思路，必須強調出來，讓學生們熟悉并掌握解題技巧，靈活運用二次函數的知識點。

【關鍵詞】初中數學解決二次函數問題關鍵思路

在初中的數學里，二次函數是一個極其重要的知識，對于二次函數還延伸到了高中的教學中。二次函數最為主要的是應用在表示數量之間的關系和解決數學模型等方面上，這樣就使得二次函數成了一個相對比較難以掌握的知識點。大部分初中生對于二次函數的問題不知如何下手，在學習中沒有較好地認識二次函數并抓住其關鍵點。在解答二次函數有關問題中，解題的思路才是關鍵。

1.二次函數的學習要點

（1）、理解二次函數的概念、性質以及二次函數的圖像

（2）、確定拋物線的開口方向、頂點坐標以及對稱軸的方程

（3）、根據不同的已知條件，計算出二次函數的解析式

（4）、靈活的運用二次函數知識，利用數形結合的思想解答問題

2.數值代入法

在初中的數學中，解決二次函數問題時數值代入是比較常見的方法，通常題中會告訴某個二次函數或者是拋物線所經過的某些坐標點，只需要把坐標的數值代入函數的解析式中，進行等量關系處理即可。

例：已知二次函數y = ax2 + bx +c 的圖像經過A（－ 1，－ 1），B（0，2），C（1，3），求二次函數的解析式.

分析：這是比較基礎性的題目，學生們要通過已知將題中的橫、縱坐標代到二次函數的解析式中，形成等式并要將等式聯立起來，組成一個方程組進行計算，把問題轉入到解方程組上，計算出來有關的未知參數，就是得出的解析式。

例1.（2013山東泰安，19，3分）設A（-2，y1，）B（1，y2）C（2，y3）是拋物線y=-（x+1）2+m上的三點，則y1，y2，y3，的大小關系為（）

A.y1>y2>y3B. y1 >y3>y2C. y3>y2 >y1D. y2> y1>y3

【答案】A

【解析】方法一：把A、B、C三點的坐標分別代入y=-（x+1）2+m，得y1=-1+m，y2=-4+m，y3=-9+m，所以y1>y2>y3.

方法二：∵函數的解析式是y=﹣（x+1）2 +a，如圖，∴對稱軸是x=﹣1，∴點A關于對稱軸的點A是（0，y1），那么點A、B、C都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊y隨x的增大而減小，于是y1＞y2＞y3．所以選A

【點評】代入法是比較函數值大小的一種常用方法；數形結合法，當拋物線開口向下的時候離對稱軸越近，對應的函數值越大，當拋物線開口向上的時候離對稱軸越近，對應的函數值越小。

在二次函數的學習過程中，上述求解析式的問題是最基本的，坐標數值代入法就是解決此類問題的方法，數值代入法是解決初中二次函數有關問題必須要掌握的基本技能之一。這種方法關鍵是要讓學生們認識到：對于二次函數解析式的描述是函數以及其對應的自變量之間存在的數量關系。

3. 數形結合法

學生們利用二次函數的圖像學習函數的性質是最主要的方法之一，二次函數的圖像能夠直接地影響學生們對二次函數概念和性質的理解與掌握。比如，初中數學老師在教同學們任意一個如y = ax2 + bx +c（a≠0）的函數，由題中的已知條件要求學生們畫出這個二次函數的圖形，對這個二次函數的圖形，其開口的方向和頂點所在的位置以及坐標，還有圖形的對稱軸等各種問題都會有所了解的，這樣對二次函數的理解方式為解決具體的問題做了很好的鋪墊。在整個過程中，可以鍛煉學生們的觀察能力，讓學生們可以從復雜的關系或者圖形中抓住主要的特征，并且能夠根據不同考察目的，從而選擇出對問題觀察的不同角度，由此達到輕松解決二次函數問題的目的。

例2.與拋物線y=-5x2-1頂點相同，形狀也相同，并且開口方向相反的拋物線所對應的函數（）。

A.y=-5x2-1 B.y=5x2-1C.y=-5x2+1D.y=5x2+1

【答案】B

【分析】由題目可以知道，y=-5x2-1的頂點是（0，-1），開口向下，后推斷與頂點相同，形狀也相同，但是開口方向是相反的。所以y=5x2-1是正確的答案。

【點評】本題是一道綜合性較強的小題，涉及到二次函數圖象的性質，一元二次方程根與系數的關系，有一些難度。

這道例題給我們的啟發是，學生們必須要善于思考，將二次函數的幾種形式所包的意義完全的理解，知道二次函數與圖形以及解析式之間的聯系。學生們要重點掌握數形結合的精髓，即頂點形式"頂點式：y=a（x-h）^2；+k，這是反映二次函數圖形一個重要的信息工具，靈活地運用頂點坐標公式：h =（-b/2a），以及k =（4ac-b^2）/4a，這個頂點坐標公式也是可以起到很大作用的。二次函數的圖像具有一些幾何圖形的特點，同學們也要學會利用，常常要解答的就是二次函數的圖像軸對稱性質，它也是由解析式的數值來決定圖形形狀的。

數學是從實例中抽象出一類學科也是結構性非常強的一門課程。初中數學課的形式應該是多樣化的，要采用多種教學方法及策略，對學生所學的二次函數知識打好基礎，促使學生們對二次函數概念的結構系統化。老師要對二次函數知識做系統的整理，構建知識體系并突出對二次函數知識的應用，對疑難問題要做出靈活的解答，營造輕松、愉快的課程復習氛圍。

綜上所述，初中二次函數的知識面是非常廣的，其能夠激發學生們對二次函數無限的學習興趣。初中生在不斷的總結規律的同時還會對二次函數解題方法進行創新。希望數學老師可以積極的有效的去引導學生們，讓學生更加善于思考和總結二次函數的知識，靈活的掌握，解決有關二次函數問題的關鍵思路。

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