復合函數的單調性的研究

函數單調性是函數的核心內容之一，多以考查復合函數的單調性居多. 復合函數的單調性的復合規律為：若函數y=f（u）與u=g（x）的增減性相同（相反），則y=f[g（x）]是增（減）函數，可概括為“同增異減”.為了幫助考生對復合函數的單調性有一個全面的認識，本文結合例題，對復合函數的單調區間的求法及單調性的應用加以歸納總結。

一、引言

什么是復合函數.對于函數y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A，如果x∈A時u=g（x）的值域C與函數y=f（u）的定義域B的交集非空，即C∩B≠€%o，那么就說y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A可以復合，稱函數y=f（g（x））叫做y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A的復合函數，其中y=f（u）叫做外函數，u=g（x）叫做內函數.

比如， （x∈R）的復合函數是u=-X2 ∵u=-x2≤0與u≥0的交集為{0}，∴二者可以復合，但定義域發生了變化，復合后的函數的定義域既不是u≥0，也不是x∈R， 而是x=0.也就是說復合函數的定義域既受外函數的制約也受內函數的制約（主要受外函數的制約）.由定義知道 就不能復合成f（g（x））。

二、復合函數單調性的判斷總體步驟

復合函數y=f[g（x）]的單調性可按下列步驟判斷：

（1）將復合函數分解成兩個簡單函數：y=f（u）與u=g（x）.其中y=f（u）又稱為外層函數， u=g（x）稱為內層函數；

（2）確定函數的定義域；

（3）分別確定分解成的兩個函數的單調性；

（4）若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數y=f[g（x）]為增函數；

（5）若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數y=f[g（x）]為減函數.

復合函數的單調性可概括為一句話：“同增異減”.

三、詳細分析

（1）觀察下面兩組在相應區間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區別是什么？

第一組：

第二組：

顯然第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組組函數，函數值y隨x的增大而減小。

這正是兩組函的主要區別.當x變大時，

第一組函數的函數值都變大，而第二函數的函數值都變小.雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一每函數卻具有一種共同的性質.我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖像研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質，而這些研究結論是直觀地由圖像得到的.在函數的集合中有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究.

（2）對概念的分析

在增函數和減函數的定義中用了兩個簡單的不等關系“x1f（x2），它刻畫了函數的單調遞增或單調遞減的性質.這就是數學的魅力！現在請看剛才的兩組圖中的第一個函數y=f1（x）和y=f2（x）的圖像，體會這種魅力。

圖中y=f1（x）對于區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1

（3）概念的應用

例 能說反比例函數f（x）=k/x （x>0）在整個定義域內是單調函數嗎？并用定義證明你的結論.

反比例函數f（x）= k/x （k>0）的定義域是什么？

f（x）= k/x （k>0）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）.

對于這個例子如果認為f（x）= k/x （k>0）在（-∞，0）以及（0+∞）上都是減函數，那就是錯誤的.因為如果認為這個函數不是整個定義域內的減函數，不符合減函數的定義。比如取x1 （-∞，0）取x2 （0+∞），x10，顯然

有f（x1）f（x2），因此它不是定義域內的減函數。

那能否說明f（x） （k>0）是定義域內的增函數呢？

也不能這樣認為，因為由圖像可知，它分別在（-∞，0）和（0+∞）上都是減函數.

經過剛才的分析，我們知道f（x）= k/x （k>0）即不是定義域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0+∞）每一個單調區間內都是減函數.因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“∪”連接，另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間.實際上f（x）=k/x （k>0）在（-∞，0上是減函數， f（x）=k/x（k>0）在（0+∞）上是減函數。

（作者單位：湖北襄陽職業技術學院公共課部）