“綜合法”還是“向量法”

摘 要：解決立體幾何問題有“綜合法”和“向量法”，本文通過具體案例，對學(xué)生出現(xiàn)的問題及思維的誤區(qū)進(jìn)行分析總結(jié)，使得對立體幾何的學(xué)習(xí)有更深刻的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：綜合法； 向量法； 選擇

中圖分類號：G633．6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1006-3315（2014）04-023-002

在高中學(xué)習(xí)中，立體幾何被分成兩個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)。第一部分安排在高一學(xué)習(xí)的《必修2》，第二部分安排在高二學(xué)習(xí)的《選修2-1》。這兩種解決立體幾何的方法通常稱為“綜合法”和“向量法”。對于一種題型，有了多種解法，無疑使學(xué)生在做題的過程中有了更多的選擇，成功率也應(yīng)該大大提高。但在實(shí)踐中，學(xué)生并沒有因?yàn)榱Ⅲw幾何解法的多樣性而變得輕松。這引發(fā)了筆者的思考：在考試中，到底是選擇傳統(tǒng)的“綜合法”，還是選擇偏重于計(jì)算的“向量法”呢？考試的時(shí)間是有限的，只有在最短的時(shí)間內(nèi)作出正確的判斷，縮短解題時(shí)間，才能取得考試的成功。下面，本人就最近的一道測試題，來探討這個(gè)問題，并加以分析。

問題 如圖1，一直四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，△PAB是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD。

（1）若O是CD的中點(diǎn)；證明BO⊥PA；

（2）求二面角B-PA-D的余弦值。

上述這道題選自2013廣東深圳二模，在本年級理科統(tǒng)一測試中選用了此題，批改的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)數(shù)量的同學(xué)第一問采用的綜合法，第二問采用的向量法。也有部分同學(xué)從第一問就開始嘗試向量法，但效果不盡人意。

1.綜合法“小露鋒芒”

綜合法要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間構(gòu)造能力，能在短時(shí)間內(nèi)剔除無關(guān)點(diǎn)、線、面的干擾，透過圖形看到所求問題的本質(zhì)，通過發(fā)掘題目中的隱含條件或者輔助線等方式，很快解決問題。就本題而言。

第一問：要證明線線垂直，須找到線面垂直，而圖形線條較分散，須連接兩條輔助線OA，OP，構(gòu)造平面AOP，然后證明OB⊥平面OAP，進(jìn)而得到線線垂直。

第二問：要求二面角，首先要找到二面角的平面角。找二面角的平面角一般有定義法、三垂線定理法、垂面法等。

法一（如圖2）：延長BO，AD交于E，取PA中點(diǎn)F，連接BF，EF，可驗(yàn)證BF⊥AP，EF⊥AP，則∠BEF即為所求二面角的平面角。此法利用定義法，將線段延長，補(bǔ)齊圖像，找出此角對學(xué)生來說是較困難的。但根據(jù)題中各線段比例關(guān)系，較容易算出此角的余弦值。

法二（如圖2）：取PA中點(diǎn)Ｆ，連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AP交DP于G，則∠BFG即為所求角。此法也是定義法，利用等邊三角形的性質(zhì)得到一組垂直，另一組垂直自行作出，找此角并不困難。計(jì)算問題上，只要連接合理的輔助線(CG)，利用已知比例關(guān)系，相似三角形△ADP∽△GFP得出的線段比例關(guān)系，余弦定理(計(jì)算CG)，以及BC⊥平面PCD得到BC⊥CG，可計(jì)算出△BGF的三邊。最后由余弦定理計(jì)算出二面角的平面角的余弦值。這種方法，找角容易，但計(jì)算困難較大，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)不好把握。

法三（如圖2）：這種方法是在法二的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)。先過頂點(diǎn)D作DI⊥AP于I，然后過I作BF的平行線AB于J。易知JI⊥AP，∠DIJ即為所要求二面角的平面角。因此只需要計(jì)算出△DIJ的三邊即可。由垂直，相似的比例關(guān)系很容易計(jì)算出三邊。此法，最關(guān)鍵的就是將BF經(jīng)過平移為IJ的三邊即可。這樣利用頂點(diǎn)D構(gòu)造的三角形更容易計(jì)算，較第二種方法更優(yōu)。

學(xué)生的疑惑：(1)找二面角的平面角。對學(xué)生來說是難點(diǎn)，經(jīng)常用到三垂線定理及其逆定理，但在必修2中并沒有作為定理給出，而是出現(xiàn)在空間向量與立體幾何一個(gè)例題中。因此，老師可以事先向?qū)W生補(bǔ)充這個(gè)知識，使學(xué)生認(rèn)識到這一內(nèi)容的重要性，從而提高效率。(2)角的計(jì)算。要將角放在合適的三角形中，利用解三角形的知識算出，這里體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)知識都是互相聯(lián)系的。

2.向量法“一展身手”

向量法處理立體幾何問題可以化繁為簡，擺脫復(fù)雜的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，不用添加輔助線，通過坐標(biāo)的計(jì)算得出位置，角度，距離等關(guān)系。首先，要建立合適的空間坐標(biāo)系。建立空間直角坐標(biāo)系可以(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建；(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建；(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建；(4)利用正棱錐的中心與高所在的直線構(gòu)造。

本題已知平面ABCD⊥平面PCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC為所在射線的X軸，DC右側(cè)垂直于DC的射線為Y軸DA所在射線為Z軸，此構(gòu)建右手系空間直角坐標(biāo)系。

第一問：要證明BO⊥PA，只需轉(zhuǎn)化為這兩條直線共線的向量的數(shù)量積為0。由于△ADP?艿△BCP得到CP=DP，OP⊥CD，故OP與Y軸平行，經(jīng)計(jì)算OP=■，各點(diǎn)坐標(biāo)A(0，0，1)，P(1，■，0)，O(1，0，0)，B(2，0，1)■=(1，0，1)，■=（-1，-■，1），易證■·■=0即證。在這種做法中，寫出向量坐標(biāo)是關(guān)鍵，其關(guān)鍵就是能準(zhǔn)確寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二問：要求二面角的平面角，可以轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量之間的夾角或其補(bǔ)角。有了第一問的基礎(chǔ)，很多向量的坐標(biāo)都已寫出，法向量可以算出。然后計(jì)算法向量之間的夾角，取出二面角。

學(xué)生的疑惑：(1)建系困難。建立空間直角坐標(biāo)系應(yīng)遵循盡量利用已知點(diǎn)，已知線，最重要的是找到圖中兩兩垂直的三對線。切忌不能主觀判斷垂直，隨便建系。在我們教科書中講到的是建立右手系，有的同學(xué)按照自己的意愿建系，如果計(jì)算仔細(xì)，能得到同樣的結(jié)果，但是如果稍有錯(cuò)誤，不易檢驗(yàn)，給評卷的老師帶來很大困難，使得評分標(biāo)準(zhǔn)會有一定差異，因此，學(xué)生盡量還是應(yīng)該選用右手系。(2)計(jì)算量大。向量法的思路簡單，然而需要很強(qiáng)的計(jì)算功底。因此要求學(xué)生在看點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算向量的坐標(biāo)時(shí)保證百分百的正確率。如果在計(jì)算的過程中有一個(gè)點(diǎn)或者向量坐標(biāo)錯(cuò)誤，后面的計(jì)算已經(jīng)是徒勞。(3)二面角的選取。二面角的選取與法向量的選取方向有關(guān)系。課上，某些老師講通過看圖，看二面角是銳角還是鈍角，學(xué)生其實(shí)一知半解，因?yàn)榱Ⅲw圖形在平面上畫出來的視覺圖，學(xué)生看圖有可能出現(xiàn)誤差。因此老師可以根據(jù)課堂需要，根據(jù)課程安排，根據(jù)具體案例，適當(dāng)向?qū)W生補(bǔ)充判斷二面角的方法：如果法向量的方向都指向二面角的內(nèi)部或外部，則二面角與法向量所夾角互補(bǔ)；如果法向量的方向一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，一個(gè)指向二面角的內(nèi)外部，則二面角與法向量的夾角相等。

3.小結(jié)

通過本人對以上案例的分析，認(rèn)為“綜合法”，“向量法”都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。“綜合法”中的幾何思想更能體現(xiàn)我們開設(shè)立體幾何這個(gè)知識點(diǎn)的意圖，這些能力對于今后計(jì)算機(jī)、工程作圖、生活等方面是一個(gè)很好的啟蒙。“向量法”主要是利用空間向量這個(gè)工具，建立立體幾何與空間向量的聯(lián)系，進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，作出運(yùn)算結(jié)果的幾何解釋，進(jìn)而得出幾何結(jié)論。“幾何”和“代數(shù)”就像一對兄弟，在我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中一直貫穿始終。因此學(xué)好立體幾何，既要擁有幾何學(xué)的思維，又要將代數(shù)知識與其聯(lián)系，產(chǎn)生更多的創(chuàng)新，兩者不能偏廢。