初中數學教學中數學思想的構建與探究

[摘 要]數學思想是數學方法的靈魂。在數學學習中如果能夠領悟和掌握數學思想方法，無疑可以收到事半功倍的效果。在教學中，教師要善于創設教學情境來激發學生的學習興趣，注重數學思想的培養及數學方法的轉化，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，形成數學認知的良性循環。

[關鍵詞]初中數學；數學思想；構建；探究

數學知識的發生過程，實際上是思想方法的發生過程與思考過程。數學中的概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發現過程、規律的被提示過程，都蘊藏著向學生滲透數學思想與數學方法，訓練思維的極好機會。數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，在教材中沒有專門的章節介紹它，而是伴隨著基礎知識的學習和做題操練而展開的。在平時教學及學習中一定要重視對常用數學思想方法的總結與提煉，它們是數學的精髓，是解題的指導思想，不斷總結能使人終身受益。

一、方程思想

方程思想是指把一個數學問題通過途徑轉化為方程，從而使問題得到解決的數學思想方法。它在探索解題思路時經常使用，特別是對解決與數量有關的數學問題時行之有效。在解決“線段與角”的問題時，應用小學中學習的簡易方程就可以求解。對于方程思想中利用問題中存在的等量關系，通過建立方程（組）解決具體問題是一種好方法。在“一次函數”一章節，方程思想的主要應用體現在運用待定系數確定函數的解析式。如：

已知一次函數的圖像經過點A（-3，-2）和點B（1，6），求此函數的解析式。

就此問題的解答，可先設一次函數的解析式y=kx+b，再把A、B兩點的坐標分別代入即可得到一個二元一次方程組，解此方程組即可求出k、b的值，從而確定函數的解析式。利用待定系數法求一次函數y=kx+b中兩個待定的系數 k、b，其實質是根據已知條件列出k、b的二元一次方程組，從而把一次函數問題轉化為二元一次方程組問題，既體現了方程的思想，也體現了轉化的思想。

二、轉化思想

轉化思想是將要研究和解決的問題轉化為另一個容易解決的問題或已經解決的問題，即把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“抽象”轉化為“具體”的思想方法。在解答數學問題時，如果直接求解比較困難時，就可以將其轉化為另一種形式求解。如在學習“分式”時，轉化思想的應用就顯得特別常見或明顯，把除法轉化為乘法，把異分母分式加減法轉化為同分母分式加減法，把分式方程轉化為整式方程等。如：

已知函數y=3x-5，求當■

此題由一次函數的解析式y=3x-5，可以把關于x的不等式■

在不少數學問題的解決中，轉化思想成了一種很適用的解題技巧。轉化思想注重把注意力和著眼點放在問題的結構上，透過現象看本質，適時地調整和改變原有的思維方式，以求得問題的解決，可以說轉化思想是數學解題中的一個很重要的策略或解題技巧。

三、數形結合思想

數和式是問題的抽象與概括，圖形和圖像則是問題的具體化與直觀化。如在“一次函數”的學習與應用中，充分利用函數的圖像可以十分簡捷地解決某些問題。

作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致可以分為兩大類型，或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的直觀性來闡明數之間的某種關系，即“以形助數”。如反比例函數y=■（k為常數，k≠0）。k有著眾多的功能。如：（1）k決定橫、縱坐標的乘積；（2）k的符號決定雙曲線分布的象限；（3）k的符號決定雙曲線在每個象限的增減性；（4）k的絕對值決定坐標軸三角形和坐標軸矩形的面積。

四、類比思想

類比是一種在不同的對象之間，或者在事物與事物之間，根據它們的某些方面（如特征、屬性、關系等）的相似之處進行比較，通過聯想和猜想，推斷出它們在其他方面也可能相似，從而建立猜測和發現真理的方法。在平時數學教學中，類比可以幫助學生利用已有的知識來認識、理解和掌握新知識。

如在教學“分式和最簡分式的概念”時，通過類比分數，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式。分數與分式的關系是具體與抽象、特殊與一般的關系。分數等表示具體的數值，或者說每個分數表示兩特殊的整數的除法；分式則具有一般的、抽象的意義。分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則，都是從分數的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則中經過再抽象而產生的。在學習本章之前，學生已經對分數有較多的了解，因此本章在學生對分數已有認識的基礎上，通過分式與分數的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式。從學情分析來看，經過七年級一年的學習，學生初步養成了自主探究意識。一方面，在七年級上冊中，學生已經學習了整式，分式與整式一樣也是代數式，因此研究與學習的方法與整式相類似；另一方面，“分式”是“分數”的“代數化”，學生可以通過類比進行分式的學習。另外，在學習本章之前，學生已經分兩次學習過整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），他們對于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路已經比較熟悉。分式方程的未知數在分母中，它的解法比以前學過的方程復雜，隨著問題復雜性的增加，人們需要不斷地提高認識問題的水平，這里包括提高對新事物與已熟悉的事物之間的聯系的認識。可以說“類比思想”在學習分式的應用主要體現在與分數類比得出分式的約分、通分、分式的基本性質、分式的運算法則、分式方程的解法及其應用方面。

五、分類討論思想

依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想叫做分類的思想。將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法都屬于分類探究的方法。事實上，某些數學問題涉及的概念、法則、性質、公式中分類給出的，或者在解答過程中，條件或結論不唯一時，會產生幾種可能性，這時就需要分類討論，從而得出各種情況下的結論。如：

已知直線y=kx+b過點A（-2，0），且與y軸交于點B，直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為3，求直線的解析式。

從題目的解析來看，要求直線與兩坐標軸圍成的三角形面積，就必須知道直線與兩坐標軸的交點坐標。直線與X軸的交點是A（-2，0），但是直線與Y軸的交點B的坐標沒有告訴我們，點B可能在Y軸的正半軸，也可能在Y軸的負半軸，所以需要分情況討論。在平時教學中，注重分類討論思想的引導，可以考察學生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解。分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標準進行；（2）分類要做到不重復、不遺漏。分類的步驟要求是：（1）明確對象的全體；（2）確定分類標準；（3）分類討論；（4）歸納小結得出結論。

六、建模思想

建模思想就是通過建立數學模型來解決實際問題的一種思想方法。在學習“分式”時，分式方程是將具體問題“數學化”的重要模型，通過經歷“實際”問題——分式方程模型——求解——驗證解的合理性的“數學化”過程，體會分式方程的模型思想。分式是“整式”之后對代數式的進一步研究，所以研究方法與整式相同。如：讓學生經歷用字母表示現實情境中數量關系（分式、分式方程）的過程，經歷通過觀察、歸納、類比、猜想獲得分式基本性質以及分式加、減、乘、除運算法則的過程，體會分式、分式方程的模型思想，進一步發展符號感。從“分式”的學習目標來看，經歷用字母表示現實情境中的數量關系（分式、分式方程）的過程，了解分式、分式方程的概念，體會分式與分式方程是描述現實數量關系的模型，增強符號感。分式是不同于整式的另一類有理式，是代數式中重要的基本概念；相應的，分式方程是一類有理方程，解分式方程的過程比解整式方程更復雜些。然而，分式或分式方程更適合作為某些類型的問題的數學模型，它們具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。

責任編輯 一 覺