類比法在數學解題中的應用探析

[摘 要]類比推理是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。它是以關于兩個事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個事物的其他屬性相同的結論的推理。在數學解題過程中，運用類比推理，往往能實現知識和方法的正遷移，能啟迪學生思維，培養學生綜合分析問題的能力。

[關鍵詞]類比法；數學教學；正遷移

類比推理是根據兩個（或兩類）對象的一些相同（或相似）的屬性，從而推導出它們的其他某些屬性也相同（或相似）的一種邏輯推理，簡稱類推、類比。在數學解題過程中，當我們的思維遇到障礙時，運用類比推理，往往能實現知識和方法的正遷移，達到“柳暗花明又一村”的效果。

一、簡化類比

簡化類比，將復雜問題類比到相應的簡單問題，由簡單問題的解決思路和方法得到啟發，尋找復雜問題的解決途徑與方法。常見的簡化類比有一般與特殊的類比、高次與低次類比、多維與低維類比等。

（1）一般與特殊的類比

解決一般性問題時，可以先解決它的一個特殊情況（相對會簡單許多），然后對解決特殊情況時所用的方法、所得的結論進行分析，把它與一般情況進行類比，分析一般情況下的問題解決方法。

根據輪換對稱的性質，原方程的解為：

（3）多維與低維的類比

平面圖形與立體圖形是從不同的維度來研究幾何圖形，但它們存在許多相似之處，對于一些較復雜的立體幾何問題（多維問題），可以通過平面幾何問題（二維問題）的類比，提供解決的思路方法，往往可簡化運算與推理，優化解題過程。

[例3]如圖1，在三棱錐P-ABC中，截面PDE經過三棱錐的內切球（與四個面都相切的球）的球心O，與AC、BC分別交于D、E，且截面將三棱錐P-ABC分成體積相等的兩部分，設四棱錐P—ADEB與三棱錐P—CDE的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（

[分析]本題是立體幾何問題（即三維空間問題），將立體中的圖形中相關的量與平面幾何中的相應的元素進行類比：三棱錐與三角形，三棱錐的內切球與三角形的內接圓，三棱錐的表面積與三角形的周長，三棱錐的體積與三角形的面積。由此可得到與本題相應平面幾何問題：如圖2，在△ABC中，直線DE經過其內切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于D、E，如果線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，設△ADE與四邊形BCED的周長分別為L1、L2，判斷L1、L2的大小關系。

設內切圓半徑為r，將四邊形BCED分割為△DOB、△BOC、△COE三部分，將△ADE分割為△AOD和△AOE，

解：由類比推理，可以猜想例3中S1=S2有，其解題思路與相應的平面幾何問題相仿。即將四棱錐P-ADEB分割為O-PAB，O-PAD，O-PBE與O-ADEB四部分，而將三棱錐P-DCE分割為O-PDC，O-PCE，O-CDE三部分，根據體積相等，列出方程，高都為內切圓的半徑，即有S1=S2 。

二、結構形式的類比

某些需要解決的較復雜問題很難找到現成的類比對象，但可通過原問題結構特征的分析，尋找相似性類比問題，然后通過相應的構造和代換，將原問題轉化為相應的類比問題來解決。

三、數與形的類比

數形結合是數學中的重要思想，“數少形時缺直觀，形少數時缺精確，兩者結合萬般好，兩者分離萬事休”。在解決數學問題時，數形結合，往往可達到化繁為簡，化難為易的效果，使所需解決復雜問題變得簡捷、直觀。

[例5]已知：x，y，z 均為正實數，

[分析]本題兩邊都是無理式，從常規的方法來看，應該采用兩邊平方法，但右邊有兩個根號，需要平方兩次，式子就變為很復雜，難以解決。但從整體上觀察結構可知：可以把左邊看成三角形的兩邊之和，右邊是三角形的第三邊，整個結構類似于“三角形兩邊之和大于第三邊”，而每個被開方式下面式子的結構特征與余弦定理相類似，從而設法構造一個三角形，用幾何知識來證明。

解：設長方體相鄰的三邊長分別為a，b，c，a，？茁，y分別為a，b，c與對角線AC1的夾角，由此可得：

當且僅當a=b=c時等號成立。

類比是發掘新知識，開拓新領域的重要方法，類比的關鍵是把兩個對象之間的某種相似性能恰當的聯系起來。類比思想有助于培養學生的靈活性、獨創性、廣闊性和敏捷性。

參考文獻

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責任編輯 余 華