洛倫茲混沌系統的電路仿真與設計

王玉璞

【摘 要】本文基于Lorenz混沌系統的動力學方程，利用Matlab軟件中的simulink模塊搭建方程進行仿真，并將Lorenz方程進行標度變換為一個新的標準方程，使用Mutisim軟件進行電路設計與模擬，得到了理想的結果。

【關鍵詞】Lorenz混沌系統；Matlab仿真；模擬電路設計

0 引言

混沌系統對初始值非常敏感，并且具有類隨機性，可控及同步性。近年來，混沌保密通訊、混沌電路及加密發展成為一個前沿領域?；煦缂用艿葢脝栴}首先要解決的問題即混沌電路的設計。本文基于Lorenz混沌系統，分析其基本特性，并進行了電路仿真及模擬電路的設計。

1963年著名的氣象學家E.N.Lorenz研究大氣熱對流運動時發現了一種特殊的混沌現象，即蝴蝶效應。Lorzen吸引子是目前文獻記載最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成為“混沌之父”。至今， Lorzen系統族的發展雖然有很長的歷史，但是Lorzen系統族豐富的動力學行為依然值得更加深入的研究，并進行更多的應用發展。

lorenz系統的動力學方程為：

■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）

式中，x，y和z表示對流強弱，水平溫差和與溫差有關的變量；σ、γ和b則分別為Rayleigh數、Rayleigh數和容器大小有關的參數。當σ =10，b=8/3，γ=28時，lorenz系統出現混沌現象。

1999年，我國學者陳關榮等人提出了一個新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的動力學方程為：

■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）

當a=35，b=3，c=28時，Chen系統產生混沌現象。

2002年，呂金虎提出了LU系統，它的動力學方程為：

■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）

當a=36，b=3，c=20時，LU系統出現混沌現象。

這三個系統具有類似卻不相同的動力學行為，被稱為Lorzen系統族[1]，它對于混沌系統的理論研究以及控制、同步、加密應用等都具有重要的意義。

1 Lorenz系統的Matlab仿真

Lorenz系統的參數取固定值，σ=10，b=8/3，r=28，動力學方程為：

■=-10x+10y■=-y+28x-xz■=-8/3z+xy （4）

根據公式（4）提供的Lorenz系統數學模型，利用Matlab軟件進行仿真，仿真結果如圖1所示。

2 Lorenz動力學方程的改進

由圖1的仿真結果觀察得到，x軸范圍為-30V～30V，y軸范圍為 -30V～30V，z軸范圍為0～50V。而一般運算放大器較好的線性工作范圍是-10V～+10V，由此可見，沒有經過變形的Lorenz混沌系統不能采用模擬電路來實現的。這也是Lorenz混沌系統不能實現電路的關鍵原因。下面將Lorenz動力學方程的參數進行調整，使各個輸出端工作范圍限制在-10V～+10V[2-3]。

引入三個全新的變量：

u=■，v=■，w=■ （5）

由相圖可知，x在變化幅度為-30V～30V，取u=■后，u變化范圍是-3V～3V。y軸范圍為-30V～30V，取v=■后，v變化范圍是-3V～3V。z軸范圍為0～50V，取w=■后，w變化范圍是0V～3V，均滿足電路要求的動態范圍。

以u、v、w三個變量表示的Lorenz動力學方程為：

■=σ（v-u）■=ρu-v-20uw■=5uv-βw （6）

既得改進后的Lorenz動力學方程。將變量u、v、w還原為x、y、z，

■=σ（y-x）■=ρx-y-20xz■=5xy-βz （7）

改進后Lorenz系統電路輸出幅值范圍滿足實際電路要求幅值范圍。其中xy乘積項顯示的范圍是近-4V～4V，xz乘積項顯示的范圍是近-4V～4V，yz的乘積項顯示的范圍是近0V～50V。因此，各參數幅值范圍均在-10V～+10V。經過標度變換后，新的動力學方程完全可以符合電路設計的要求。

3 Lorenz系統的模擬電路設計

由改進的Lorenz動力學方程，建立Multisim仿真模型，經過計算確定所需要的電路器件及其參數。該仿真模型使用8個模擬運算放大器，2個模擬乘法器。通過運算放大器，電容及電阻搭建電路實現了三個積分器U2、U6、U8，它們的的輸出端分別是X，Y，Z。乘法器A1輸出端XZ，乘法器A2輸出端是XY，R1=R2=R3=R4=R6=R7=R8=R10=R11=R14 =R15=R16=R17=10k， R5為13k， R9為200k， R13為200k， R18為20k，R20為50k， R21為91k， R12和R19為10k電位器，C1和C3為100nf， C2為910nf。Lorenz系統模擬電路如圖2所示，仿真結果如圖3所示， 得到了理想的仿真效果。

圖2 改進后 Lorenz系統模擬電路

【參考文獻】

[1]黃永念.非線性動力學引論[M].北京：北京大學出版社，2010.

[2]康大偉.洛倫茲混沌電路元件值與混沌圖形研究[J].福州大學報，2002，30（1）：43-47.

[3]賈紅艷.混沌與超混沌系統模型分析及模擬電路研究[D].天津：南開大學信息技術科學學院，2010.

[責任編輯：丁艷]