快速判斷閏年有妙招

鄭藝霞

摘 要： 教師應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重因材施教。在以往教學中，要判斷某一年是不是閏年，就是用4或400除這一年的年份數。三年級學生只學習除數是一位數，被除數最大是三位數的除法，一位數除四位數這類題目，對學生來說，難度大，計算速度非常慢。作者結合多年數學學習經驗，總結了一種特別簡便的方法判斷閏年，并用數學語言加以證明。

關鍵詞： 閏年 理論證明 優化計算方法

《義務教育數學課程標準》指出：教師應該以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎，面向全體學生，注重因材施教。人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》三年級下冊第四單元《年、月、日》，介紹了平年和閏年的知識。書上是這樣寫的：公歷年份是4的倍數的一般是閏年；但公歷年份是整百數的，必須是400的倍數才是閏年。換言之，要判斷某一年是不是閏年，用4或400除這一年的年份數，如果除得的商是整數且沒有余數，那么這一年就是閏年；如果有余數，那么這一年就是平年。三年級學生只學習除數是一位數，被除數最大是三位數的除法，一位數或三位數除四位數這類題目，對學生來說，有一定難度。雖然近幾年教材變動很大，但這部分知識的學法還是沒變。這樣的學法確實不容易為學生所接受。那么應該怎樣突破這個難點，本文闡述如下。

一、解讀教材，深度思考

筆者執教《年、月、日》前，仔細研究了這節課的教學重點，覺得讓學生掌握平年與閏年的判斷方法難度不是很大，而且這部分內容和學生的生活密切聯系，能激發學生極大興趣。但是有這樣的擔憂，學生雖然學習了除數是一位數的除法，但一位數除四位數，教材上沒有出現過，更沒有學過三位數除四位數，計算方面學生會有困難。因此，為了順利教學這部分知識，課前已經多次向學生滲透了算法。所以當介紹完判斷閏年的方法后，學生個個迫不及待地想一試身手時，借機組織學生進行相關練習，用年份判斷閏年。看著學生鴉雀無聲、埋頭苦算的樣子，筆者心中不禁一陣竊喜，看來學得還不錯，提前滲透算法還是有效果的。過了幾分鐘，感覺應該做得差不多，但是一經檢查，還有相當一部分學生沒有完成。這和課前預設的大相徑庭。仔細檢查學生練習本，發現學生之所以沒有按預想的時間完成主要有兩個原因：第一，大部分學生是用每個年份逐個除以4或400，這樣就需要大量計算，浪費了時間；第二，計算四位數除以一位數或三位數的除法，對于三年級學生來說，難度很大，計算速度非常慢，甚至有一部分學生在計算上還有障礙。但是如果將一位數除四位數作為一個教學內容，要求學生掌握，則又會增加學生不必要的學習負擔。

全國著名特級教師錢金鐸老師曾說：“在課程的實施過程中，預設的教學過程同課堂的真實情境之間經常存在著不同程度的偏離。而這樣的偏離正是學生個人知識、直接經驗、生活世界等兒童文化的外顯，正是學生與教材碰撞出的自我解讀，其中不乏有價值的成分。”那該如何找到這其中有價值的成分，課后，筆者多次觀摩這一內容的公開課，同樣，方法學生雖然會了，但是計算起來相當麻煩，每判定一次都需要列除法豎式，學生判斷閏年的正確率和速度得不到保證。有的同學一看到這類題目就皺起眉頭，產生畏難情緒。這樣的方法已經偏離了學生認知水平。

二、改進教學，引導探究

數學教學應結合小學生的認知發展水平和已有知識經驗展開，為學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。再次教學這一內容時，筆者調整了教學思路，在學生計算前多設計了一些活動：一看，觀察年歷表，初步發現它與4的關系（每4年有一個閏年）；二猜，根據這一發現猜一猜哪些年是閏年；三推，用加4減4的規律推一推，發現閏年的年份數與4的密切關系；四算，最后引出用年份數除以4的方法。在計算過程中，學生遇到困難，此時學生渴望尋找快速判斷的好方法。于是，筆者順水推舟，緊追一步，有了以下片斷教學：

師：同學們，我們能不能根據個位上的數來判斷呢？

生：1983年是平年，不用除以4的，我都可以看出是平年，4的倍數個位都是雙數。個位是單數的肯定不是閏年。

師：也就是說我們可以先用排除法，如果年份數是單數的，就一定不是閏年。那現在剩下年份數是雙數的情況，還可以怎么排除呢？

生：先找出是整百的年份，只要用它的前兩位數去除以4就可以了。

師：能舉個例子嗎？

生：比如：1600年，可以直接用16去除以4，沒有余數，那就是閏年。1900年，只要用19去除以4，有余數，那就是平年。

師：你為什么這樣判斷呢？能不能講一下其中的道理呀？

生：因為2400里面有24個100，400里面有4個100，看2400里面有幾個400，只要用24去除以4就可以了。

聽著他的回答，教室里一片掌聲……

師：通過運用排除法，由原來需要計算6題，現在只剩下1996年和2014年，只需計算2題，大大減少了計算量，節省了時間，我們可以更快地完成這類題型。

生：我還有更快的方法，年份是雙數的，我可以用后兩位數除以4。比如：1996年用96除以4沒有余數，所以1996年是閏年。14除以4有余數，2014年不是閏年。

師：為什么？

生：……

學生說不出原因，筆者也在思考，到底這個方法可不可以，于是組織學生舉例驗證，發現是這個方法是可行的。這樣的課堂生成讓筆者驚喜不已。

蘇霍姆林斯說：“教育的技巧并不在于預見到課的所有細節，而在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生的不知不覺中作出相應的變動。”只有我們尊重生成，弘揚學生的課堂主權；引導生成，保證資源的有效價值，課堂才能充滿智慧的靈光。這節課學生不經意出現的這個亮點是學生學習的頓悟、靈感的萌發，稍縱即逝。教師要及時捕捉到這條“價值不菲”的信息，從而激活其他學生的思維，使得這個判斷方法不斷升華，為最后的巧算奠定基礎。在這一過程中，學生的智慧正在綻放，視野正在擴大，我們必須用心傾聽、及時捕捉和充分肯定，這比任何所謂的知識目標更為可貴。

三、利用理論，驗證方法

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。”著名的數學教育家波利亞在1953年就大聲疾呼：“讓我們教猜測吧！”“先猜后證——這是大多數的發現之道。”學生的猜想是否正確呢？帶著這個問題，筆者訪問了很多高年級學生，他們也都表示沒有使用過。又詢問過幾位教學經驗豐富的教師，他們也都表示在教學生涯中沒有這樣教過。或者說有這樣想過，但不敢直接教給學生。確實數學是嚴謹的，不能單靠有限個數字的驗證，就妄自下定論。為了讓這個判斷方法更好地運用于生活實際，筆者結合多年數學學習經驗，用數學語言進行了嚴格的數學證明。證明如下：

1.公歷年份不是整百數

證明：設M=A×1000+B×100+C×10+D是任意一個四位數整數，其中A，B，C，D表示0～9的整數。因為M÷4=（A×1000+B×100+C×10+D）÷4=A×250+B×25+（C×10+D）÷4且A×250，B×25都是整數，故如果（C×10+D）÷4是整數，則M是4的倍數，否則M不是4的倍數。

同理可證年份數是三位數的情況。

所以當公歷年份不是整百數時，年份數的末兩位是4的倍數，則這個年份數就是4的倍數。

2.公歷年份是整百數

證明：設M=A×1000+B×100是任意一個整百數，其中A，B表示0～9的整數。因為M÷400=（A×1000+B×100）÷400=（A×10+B）÷4，故如果（A×10+B）÷4是整數，則M是400的倍數，否則M不是400的倍數。

同理可證年份數是三位數的情況。

所以當年份數是整百數時，只要去掉末尾的兩個零，剩下的數是4的倍數，則這個年份數就是4的倍數。

四、概括總結，回顧反思

有了理論支撐，快速判斷閏年的方法總結如下：首先看年份的個位，個位是單數的年份是不是閏年；其次判斷年份是雙數的情況，當公歷年份不是整百數時，只要看年份數的末兩位是不是4的倍數，如果是4的倍數，那么是閏年；當年份數是整百數時，只要去掉末尾的兩個零后再除以4，如果是4的倍數，那么就是閏年。掌握了這種方法之后，即使學生還沒有學習一位數除四位數，也不會影響到閏年的判斷，甚至學生不需要計算，只要口算就能立即知道某一年是平年還是閏年，而且在日常生活中也很有實用價值。

教學過程是動態的，因時因人而發生變化。教師對于教材上提供的方法不能生搬硬套，要根據學生的實際情況加以靈活運用，這樣才能使學生更有效地掌握，同時對教師的素質提出更高要求。在教學工作實踐中，沒有最好的教學方法，只有最適合的教學方法。只要我們多加思考，就會找到更適合的方法。一線教師在新一輪課程改革面前，必須走進新課程，而不是讓新課程走進我們。在新的課堂教學中，要用教材去教，而不是教教材。從學生實際生活出發，引導學生學會用數學的眼光觀察生活，把數學學習置于實際生活的背景之下，感受數學學習的價值。