拉普拉斯（獿aplace）變換法解常微分方程的初值問題

郭維斌

【摘要】 本文介紹拉普拉斯變換法求解常微分方程的初值問題，這種方法無需求出已知方程的通解，而是直接求出該方程的特解來，從而在運算上得到了很大的簡化.

【關鍵詞】 拉普拉斯變換；微分方程的初值問題

n 階常系數線性微分方程y（n）+a1y（n-1）+…+an-1y′+any=f（t）的 通解結構與求解方法在高等數學中講解得比較詳細，但是在實際問題中往往要求滿足初始條件y（0）=y0，y′（0）=y′ 0，…，y（n-1）（0）=y0（n-1）的特解，為此，當然可以先求出原方程的通解，然后再由已知的初始條件來確定其中的任意常數，但這種方法計算量大，過程冗長.本文介紹的拉普拉斯變換法求解初值問題，是直接求出常微分方程的特解，過程得到了很大的簡化，其基本思想是：先通過拉普拉斯變換將已知方程化成代數方程，求出代數方程的解，再通過拉普拉斯變換便可得到所求初值問題的解.

一、拉普拉斯變換

定義 設函數f（t）在區間 0，+∞ 上有定義，如果含參變量s的無窮積分