非奇異矩陣的幾個刻畫

王敏　陳建華

【摘要】 矩陣分解在理論研究和實際應用中有著重要的作用.基于矩陣分解理論，本文探討了實數域上非奇異矩陣的幾個刻畫.

【關鍵詞】 矩陣分解；非奇異矩陣；正定矩陣

【中圖分類號】 O151.21

1.引言

將一個矩陣分解為若干個矩陣的乘積，叫作矩陣分解.矩陣分解是解決某些線性代數問題的重要方法，其技巧性、靈活性以及實用性都很強.任北上、劉君偉等探究線性代數的數學思想在矩陣分解中的應用及實現，從中說明矩陣分解的相關理論及應用.王巖、王世炎等通過例題闡述了矩陣乘積分解、矩陣和式分解等矩陣分解的簡單應用及使用方法.邵逸民利用矩陣分解給出了秩等于1矩陣的結構，討論這類矩陣在矩陣運算、對角化、標準型等方面的性質.基于矩陣分解理論，本文探討了實數域上非奇異矩陣的幾個刻畫.

2.預備知識

矩陣分解主要包括三角分解、滿秩分解、QR 分解和奇異值分解等.利用矩陣分解，關于正定矩陣有

引理1 設A是n實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是存在正定矩陣B，使得A=Bk，k是正整數.

對于非奇異矩陣（即可逆矩陣），我們已經有了一些刻畫：n階矩陣A可逆的充分必要條件有：（1）行列式|A|≠0；（2）齊次線性方程組AX=O只有零解；（3）非齊次線性方程組AX=b有唯一解；（4）矩陣的秩r（A）=n；（5）矩陣的列（或行）向量組線性無關；（6）矩陣A的特征值都不為零；（7）矩陣A等于若干個初等矩陣的乘積；（8）矩陣A與單位矩陣等價等等.

聯系矩陣分解理論，等價條件（7），矩陣A等于若干個初等矩陣的乘積就是非奇異矩陣的一種分解，它是初等行變換方法求逆矩陣的核心原理.除此以外，我們還可以獲得以下幾種刻畫.

3.主要結果

定理1 設A是n實數矩陣，則A可逆的充分必要條件是存在Q是正交矩陣，D是主對角元大于零的上三角形矩陣，使得A=QD，且這種分解唯一.

證明：必要性顯然成立.反之，在實數范圍內，由矩陣的QR分解，則存在正交矩陣Q和實可逆上三角形矩陣D，使得A有QR分解式A=QD.

把A按列向量分塊A=（α1，α2，…，αn），其中，α1，α2，…，αn線性無關.用施密特方法將αi正交化得β1，β2，…，βn，再單位化得γ1，γ2，…，γn.最終可得