走出“模式化”禁錮

范仁忠

圓錐曲線綜合題因其多樣的思路及繁難的運算讓很多學生望而生畏.近年高考，“關注解題方向的選擇及計算方法的合理性，靈活利用曲線的定義和性質簡化計算”成為圓錐曲線綜合題的命題趨勢.教學中，如何貫徹“多思少算”的理念、如何引導學生選擇合理的解題方向、如何運用“設而不求”、“整體代換”的方法以簡化運算，是不可忽視的問題.本文以河南省開封市2014屆高三第二次模擬考試數學理科第20題第（Ⅱ）問的解法探析為例，談談簡化圓錐曲線綜合試題運算量的幾點認識，希望對解題教學有所幫助.

題目

已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）過點 3 ， 3 2 ，離心率e= 1 2 ，若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N x0 a ， y0 b 稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A，B兩點，若點A，B的“橢點”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若橢圓C右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明.

常規解法：

（I）橢圓C的方程為 x2 4 + y2 3 =1.

（Ⅱ）討論直線l斜率存在與否，聯立橢圓方程，結合“OP⊥OQ”及原點到直線l

的距離，探究得△OAB面積與△ODE面積相等.

點評 本題（Ⅱ）解法利用弦長公式和點到直線的距離公式，通過構建面積目標函數及整體代換得到定值.本題的難點在于對△OAB面積表達式的構建，對學生的數據處理能力、運算能力都是極大的挑戰.如何另辟蹊徑？

探析一由變化條件尋找聯系，巧用“整體代換”

分析：△OAB的面積由A，B兩點的位置來確定，利用點A，B在橢圓上及對應的橢點P，Q，A，B的關系式進行“整體代換”.