巧解高考題中拋物線的焦點弦問題

陳小林 曾利萍

拋物線的焦點弦問題是解析幾何中的一個重要問題，同時也是高考中關于拋物線問題的高頻考點.解決這類問題，如果能夠熟練運用本文中討論的4條性質，就可以將很多復雜問題簡單化.

如圖，AB是拋物線y2=2px（p>0）過焦點F（ p 2 ，0）的一條弦.設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x0，y0），過A，M，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為A1，M1，B1.

一、拋物線焦點弦的4條性質

性質1 過焦點的弦長 |AB|=x1+x2+p=2x0+p.

證明 根據拋物線的定義有|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+ p 2 +x2+ p 2 =x1+x2+p=2x0+p.