巧作圓中輔助線靈活求解圓類題

張華

圓的知識在初中數學中占有重要的地位，其解題方法與技巧體現了靈活性、創新性.其中，題型的靈活性大多體現在輔助線的添加方法上.本文通過幾個題目介紹圓中常見的輔助線的添加方法.

1.垂徑定理中，連半徑構造直角三角形

垂徑定理內容是，在圓中垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.定理的內容反映圓中直徑（或半徑）、弦長、弦心距間的關系，在解決相關問題時常要連接弦的端點與圓心并作出弦心距構造直角三角形，借助解直角三角形的知識來解決問題.

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點評 利用垂徑定理解題最常見的做法是構造直角三角形，并結合已知條件找出半徑、弦長與弦心距間的關系，“知二求一”.在很多的題目中，還需體現方程的思想，設定未知數求解.

2.有直徑，作直徑所對圓周角

在圓中直徑所對的圓周角是直角；相反，在圓中如果圓周角是直角，則該圓周角所對的弦是直徑.在解題時，如果出現直徑求角的度數或過程中需要求某角的度數時，常要結合直徑構造直角三角形來進行求解.

點評 直徑所對的圓周角是直角，在解題時常根據此點要連接

弦長構造直角三角形，借助直角三角形的性質幫助求解問題.在解題時，有時要根據直徑所對的圓周角是直角這一性質，連接圓的半徑，找出角與角間的關系進行相關的證明或計算.

3.看到圓切線，作出過切點的半徑

直線與圓的位置關系中相切最為重要，其重要的性質是切線垂直于過切點的半徑.根據此性質可得到線與線的垂直或得到直角三角形.

點評 已知直線是圓的切線，切點與圓心的連線是常作的輔助線，由此可得到線與線的垂直或直角三角形.

4.證明圓的切線，“連半徑，證垂直”

在證明直線是圓的切線時，我們經常過直線與圓交點作圓的半徑，通過證明半徑與直線垂直，來證明直線與圓相切，這也就是我們通常所說的“連半徑，證垂直”.

圖4 例4 如圖4，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，

連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線

AB相交于點G.試判斷直線FC與⊙O有何位置關系？

并說明理由.

分析 要證明直線與圓相切，作出圓的半徑，

證明半徑與直線垂直即可得證.

點評 無論是切線的性質還是切線的判定，作圓的半徑是常見的輔助線，由切線的性質可得到線與線的垂直；在判定切線時可以通過證明半徑與直線的垂直，得到直線與圓相切.

總之，圓中添加輔助線方法有多種多樣，在解題過程中要深刻理解題設，找出已知量與未知量間的關系，巧妙添加輔助線可建立起兩者的聯系，從而快速、準確找到解題的突破口.