淺析導數在函數三個性質中的應用

仇正權 李素英

【摘要】 導數與函數間有著緊密的聯系，本文主要從導數與函數的單調性、零點以及極值、最值這三個方面出發，對導數在函數中的應用作一個基本的探討，從而促進對導數和函數這兩個知識點的進一步認識.

【關鍵詞】 單調性；零點；極值；最值

導數作為微積分的初步知識，是近代數學的重要基礎，它體現了近代數學中的重要思想——極限思想，同時也是聯系初等數學與高等數學的橋梁.它的引入為解答數學問題開辟了新的視野，是探究函數、不等式、三角函數、解析幾何和數列問題的有力工具.另外，導數作為一個特殊的函數，其與函數之間有著千絲萬縷般的聯系，理清它們之間的關系，從而對導數和函數的進一步學習和理解，能起到較強的促進作用.筆者主要從三個方面，對導數在函數中的應用作一個初步的分析.

一、導數在函數單調性中的應用

運用導數解決函數的單調性是一種較為便捷的手段，但我們在判斷單調性時一定要清楚以下兩個關系，方能正確地判斷函數的單調性，下面就以增函數為例子，做一簡單的剖析，默認條件都是函數y=f（x）在對應區間內可導.

（1）f′（x）>0與f（x）為增函數的關系.

如果f′（x）>0，那么f（x）定為增函數，反之則不一定，例如函數f（x）=2x3在（-∞，+∞）上是單調遞增的，可是f′（x）≥0，所以f′（x）>0是f（x）為增函數的充分不必要條件.

（2）f′（x）≥0與f（x）為增函數的關系.

如果f（x）為增函數，那么f′（x）≥0，反之則不一定，因為f′（x）≥0，即為f′（x）>0或f′（x）=0，若函數在某區間內有f′（x）=0恒成立，則f（x）為一常數，函數沒有單調性，所以f′（x）≥0是f（x）為增函數的必要不充分條件.

例1 已知函數f（x）=x3+ax2+2x-1在 R 上是增函數，求實數a的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2ax+2，∵y=f（x）在 R 上是增函數，∴f′（x）≥0在 R 上恒成立，即Δ=4a2-24≤0，解得：- 6 ≤a≤ 6 .

評析 如果函數在某區間上已經確定了單調性，求參數的取值范圍時，要注意f′（x）=0的情況，此題很多時候會得出錯誤的答案：- 60.另外，也要注意特別的情況，如：f（x）=（m-2）x+n在 R 上單調遞增，則m的取值范圍是m>2，此時m就不能等于2.對此，可以這樣去理解：f′（x）=0可以成立，但不是恒成立，在具體情況中，要能根據題目的不同而進行靈活的處理.