三角函數中常見錯誤歸類探究

周芷凡

【摘要】 三角函數是三角學中非常重要的一部分，也是高中數學學習中非常重要的一個知識.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將三角函數中的常見錯誤歸為知識性、邏輯性和策略性錯誤三種，并對其舉例探究，最終嘗試總結出一些應對的策略，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

【關鍵詞】 三角函數；知識性錯誤；邏輯性錯誤；策略性錯誤；應對策略

三角學起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經》中也有關于我國最早的三角測量的記載.三角函數是三角學中非常基礎的、非常重要的一部分.在高中數學中，對三角函數的學習主要是三角函數的圖像和性質.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將把這些三角函數中常見的錯誤歸類出來，加以詳細的探究，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規(guī)律而產生的錯誤.邏輯思維的規(guī)律，即邏輯規(guī)律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環(huán)論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環(huán)論證和不等價變換這三種.

（一）循環(huán)論證

論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環(huán)論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環(huán)論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.

例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，∴a=3.

致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當a<-1時，由ymin=f（-1）=3，得a= -3- 17 2 ；

（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現主觀臆斷

主觀臆斷其實一般都是由我們心理上的誤區(qū)引起的.有時候我們雖然掌握了所有的知識點和答題技巧，但是這 樣的心理誤區(qū)對我們產生的影響卻往往是致命的.所以要消除主觀臆斷這種策略上的錯誤，我們首先要消除的就是這種心理上的障礙.

四、對應策略

上述總結的問題都是我們在進行三角函數的學習和解題過程中，容易出現的錯誤，因而這些錯誤往往都是具有可借鑒意義的.